ট্রান্সপোজ বনাম কনজুগেট ট্রান্সপোজ
একটি ম্যাট্রিক্স A এর স্থানান্তরকে কলামগুলিকে সারি বা সারিগুলিকে কলাম হিসাবে পুনর্বিন্যাস করে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, প্রতিটি উপাদানের সূচকগুলি বিনিময় করা হয়। আরো আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি ম্যাট্রিক্স A এর স্থানান্তরকেহিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
যেখানে
একটি ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সে, কর্ণ অপরিবর্তিত থাকে। কিন্তু অন্য সব উপাদান কর্ণের চারপাশে ঘোরানো হয়। এছাড়াও, ম্যাট্রিক্সের আকারও m×n থেকে n×m এ পরিবর্তিত হয়।
ট্রান্সপোজের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং তারা ম্যাট্রিক্সের সহজে হেরফের করার অনুমতি দেয়। এছাড়াও, কিছু গুরুত্বপূর্ণ ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স তাদের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম। যদি ম্যাট্রিক্সটি ট্রান্সপোজের ঋণাত্মক সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি একটি তির্যক প্রতিসম।
একটি ম্যাট্রিক্সের কনজুগেট ট্রান্সপোজ হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ যাতে উপাদানগুলিকে এর জটিল কনজুগেট দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা হয়। অর্থাৎ, জটিল কনজুগেট (A) ম্যাট্রিক্স A-এর জটিল কনজুগেটের স্থানান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
A=(Ā)T; বিস্তারিতভাবে,
যেখানে
এবং āji ε C.
এটি হার্মিটিয়ান ট্রান্সপোজ এবং হার্মিটিয়ান কনজুগেট নামেও পরিচিত। যদি কনজুগেট ট্রান্সপোজ নিজেই ম্যাট্রিক্সের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্স একটি হারমিটিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবে পরিচিত। কনজুগেট ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের ঋণাত্মক সমান হলে, এটি একটি তির্যক হারমিটিয়ান ম্যাট্রিক্স। এবং যদি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত জটিল সমষ্টির সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি একক।
অনুরূপভাবে, সমস্ত বিশেষ ম্যাট্রিক্স কমপ্লেক্স কনজুগেটেও বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা গাণিতিকভাবে সহজেই তাদের ব্যবহার করা যেতে পারে। কনজুগেট ট্রান্সপোজ কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং এর প্রাসঙ্গিক ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
ট্রান্সপোজ এবং কনজুগেট ট্রান্সপোজের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর কলামগুলিকে সারিগুলিতে, বা সারিগুলিকে কলামগুলিতে পুনর্বিন্যাস করে প্রাপ্ত করা হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের জটিল কনজুগেট পাওয়া যায় প্রতিটি উপাদানকে তার জটিল কনজুগেট দ্বারা প্রতিস্থাপন করে (যেমন x+iy ⇛ x-iy বা তদ্বিপরীত)। ম্যাট্রিক্সে উভয় ক্রিয়া সম্পাদন করে কনজুগেট ট্রান্সপোজ পাওয়া যায়।
• অতএব, কনজুগেট ট্রান্সপোজ হল একটি ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স যার উপাদানগুলির জটিল কনজুগেটগুলি রয়েছে৷
