ট্রান্সপোজ বনাম ইনভার্স ম্যাট্রিক্স
ট্রান্সপোজ এবং ইনভার্স হল দুটি ধরণের ম্যাট্রিক্স যার বিশেষ বৈশিষ্ট্য আমরা ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের সম্মুখীন হই। তারা একে অপরের থেকে আলাদা, এবং একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক ভাগ করে না কারণ সেগুলি পাওয়ার জন্য সম্পাদিত অপারেশনগুলি আলাদা৷
রৈখিক বীজগণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের মতো উদ্ভূত বাস্তবায়নের ক্ষেত্রে তাদের ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে।
ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে আরও
একটি ম্যাট্রিক্স A এর স্থানান্তরকে কলামগুলিকে সারি বা সারিগুলিকে কলাম হিসাবে পুনর্বিন্যাস করে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, প্রতিটি উপাদানের সূচকগুলি বিনিময় করা হয়। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, ম্যাট্রিক্স A-এর স্থানান্তরকেহিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
যেখানে
একটি ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সে, কর্ণ অপরিবর্তিত থাকে, তবে অন্যান্য সমস্ত উপাদান কর্ণের চারপাশে ঘোরানো হয়। এছাড়াও, ম্যাট্রিক্সের আকারও m×n থেকে n×m এ পরিবর্তিত হয়।
ট্রান্সপোজের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং তারা ম্যাট্রিক্সের সহজে হেরফের করার অনুমতি দেয়। এছাড়াও, কিছু গুরুত্বপূর্ণ ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স তাদের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম। ম্যাট্রিক্সটি ট্রান্সপোজের ঋণাত্মক সমান হলে, ম্যাট্রিক্সটি একটি তির্যক প্রতিসম।একটি ম্যাট্রিক্সের কনজুগেট ট্রান্সপোজ হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ যাতে উপাদানগুলিকে এর জটিল কনজুগেট দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা হয়।
ইনভার্স ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে আরও
একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকে একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একসাথে গুণ করলে পরিচয় ম্যাট্রিক্স দেয়। অতএব, সংজ্ঞা অনুসারে, যদি AB=BA=I হয় তবে B হল A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং A হল B এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, যদি আমরা B=A -1 বিবেচনা করি, তাহলে AA -1 =A -1 A=আমি
একটি ম্যাট্রিক্সকে ইনভার্টেবল হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত হল A এর নির্ধারক শূন্য নয়; অর্থাৎ | ক |=det(A) ≠ 0. একটি ম্যাট্রিক্সকে বলা হয় ইনভার্টেবল, অ-একবচন, বা অ-অপচয় যদি এটি এই শর্তটি পূরণ করে। এটি অনুসরণ করে যে A হল একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স এবং A উভয়ই -1 এবং A একই আকারের।
ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীতটি রৈখিক বীজগণিতের অনেক পদ্ধতি দ্বারা গণনা করা যেতে পারে যেমন গাউসিয়ান এলিমিনেশন, আইজেনডেকপোজিশন, চোলেস্কি পচন এবং কারমারের নিয়ম। একটি ম্যাট্রিক্সকে ব্লক ইনভার্সন পদ্ধতি এবং নিউম্যান সিরিজ দ্বারাও উল্টানো যায়।
ট্রান্সপোজ এবং ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য কী?
• ম্যাট্রিক্সে কলাম এবং সারিগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে ট্রান্সপোজ প্রাপ্ত করা হয় যখন বিপরীতটি তুলনামূলকভাবে কঠিন সংখ্যাগত গণনা দ্বারা প্রাপ্ত হয়। (কিন্তু বাস্তবে উভয়ই রৈখিক রূপান্তর)
• সরাসরি ফলাফল হিসাবে, স্থানান্তরের উপাদানগুলি শুধুমাত্র তাদের অবস্থান পরিবর্তন করে, কিন্তু মানগুলি একই। কিন্তু বিপরীতে, সংখ্যাগুলি মূল ম্যাট্রিক্স থেকে সম্পূর্ণ আলাদা হতে পারে।
• প্রতিটি ম্যাট্রিক্সে একটি ট্রান্সপোজ থাকতে পারে, কিন্তু বিপরীতটি শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং নির্ধারককে একটি অ-শূন্য নির্ধারক হতে হবে।
