ডেরিভেটিভ বনাম ডিফারেন্সিয়াল
ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাসে, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়াল ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত তবে এর অর্থ খুব আলাদা, এবং পার্থক্যযোগ্য ফাংশন সম্পর্কিত দুটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক বস্তুকে উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়।
ডেরিভেটিভ কি?
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেই হার পরিমাপ করে যে হারে ফাংশনের মান পরিবর্তনের সাথে সাথে ইনপুট পরিবর্তিত হয়। মাল্টি-ভেরিয়েবল ফাংশনে, ফাংশনের মানের পরিবর্তন স্বাধীন চলকের মানগুলির পরিবর্তনের দিকের উপর নির্ভর করে। অতএব, এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট দিক নির্বাচন করা হয় এবং ফাংশনটি সেই নির্দিষ্ট দিক থেকে আলাদা করা হয়।সেই ডেরিভেটিভকে বলা হয় দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ। আংশিক ডেরিভেটিভ হল একটি বিশেষ ধরনের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ।
একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন f এর ডেরিভেটিভকে সীমা [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] যেখানেই এটি সীমাবদ্ধভাবে বিদ্যমান। পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, এটি আমাদের ভেক্টর u এর দিক বরাবর f ফাংশনের বৃদ্ধির হার দেয়। একটি একক-মূল্যবান ফাংশনের ক্ষেত্রে, এটি ডেরিভেটিভের সুপরিচিত সংজ্ঞায় হ্রাস পায়, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
উদাহরণস্বরূপ, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] সর্বত্র পার্থক্যযোগ্য, এবং ডেরিভেটিভ সীমার সমান, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], যা [latex]3x^{2}+4[/latex] এর সমান। ফাংশনের ডেরিভেটিভ যেমন [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] সর্বত্র বিদ্যমান। তারা যথাক্রমে [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ফাংশনের সমান।
এটি প্রথম ডেরিভেটিভ হিসাবে পরিচিত। সাধারণত f ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ f দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (1) এখন এই স্বরলিপি ব্যবহার করে, উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] হল দ্বিতীয় ক্রম নির্দেশমূলক ডেরিভেটিভ, এবং f (n) দ্বারা n th ডেরিভেটিভ নির্দেশ করে প্রতিটি n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করে।
ডিফারেনশিয়াল কি?
একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল স্বাধীন ভেরিয়েবল বা ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের সাপেক্ষে ফাংশনের পরিবর্তনকে প্রতিনিধিত্ব করে। স্বাভাবিক স্বরলিপিতে, একটি একক চলক x এর একটি প্রদত্ত ফাংশন f এর জন্য, ক্রম 1 df-এর মোট ডিফারেন্সিয়াল দেওয়া হয়, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]। এর মানে হল যে x (অর্থাৎ d x) এর একটি অসীম পরিবর্তনের জন্য, f-এ একটি f (1)(x)d x পরিবর্তন হবে।
সীমা ব্যবহার করে একজন নিম্নরূপ এই সংজ্ঞা দিয়ে শেষ করতে পারে। অনুমান করুন ∆ x হল একটি নির্বিচারে x-এ x-এর পরিবর্তন এবং ∆ f হল ফাংশনের অনুরূপ পরিবর্তন। এটি দেখানো যেতে পারে যে ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, যেখানে ϵ ত্রুটি। এখন, সীমা ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (ডেরিভেটিভের পূর্বে উল্লিখিত সংজ্ঞা ব্যবহার করে) এবং এইভাবে, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0। অতএব, এটি সম্ভব উপসংহারে আসুন, ∆ x→ 0 ϵ=0। এখন, ∆ x→ 0 ∆ f কে d f এবং ∆ x→ 0 ∆ x কে d x হিসাবে চিহ্নিত করলে ডিফারেনশিয়ালের সংজ্ঞা কঠোরভাবে পাওয়া যায়।
উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের পার্থক্য [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] হল [latex](3x^{2}+4)dx[/ক্ষীর]।
দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের ক্ষেত্রে, একটি ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়ালকে প্রতিটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের দিকনির্দেশের পার্থক্যের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। গাণিতিকভাবে, এটিকে [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] হিসাবে বলা যেতে পারে.
ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়ালের মধ্যে পার্থক্য কী?
• ডেরিভেটিভ বলতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হারকে বোঝায় যেখানে ডিফারেনশিয়ালটি ফাংশনের প্রকৃত পরিবর্তনকে বোঝায়, যখন স্বাধীন ভেরিয়েবল পরিবর্তনের শিকার হয়।
• ডেরিভেটিভটি দেওয়া হয়েছে [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], কিন্তু ডিফারেনশিয়াল দেওয়া হয় [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]।
