ডেরিভেটিভ বনাম ইন্টিগ্রাল
পার্থক্য এবং একীকরণ ক্যালকুলাসের দুটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপ। গণিত, প্রকৌশল এবং পদার্থবিদ্যার মতো বিভিন্ন ক্ষেত্রে তাদের অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রাল উভয়ই একটি ফাংশন বা শারীরিক সত্তার আচরণের আচরণ নিয়ে আলোচনা করে যা আমরা আগ্রহী।
ডেরিভেটিভ কি?
ধরুন y=ƒ(x) এবং x0 ƒ এর ডোমেনে রয়েছে। তারপর limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) −ƒ(x0)]/Δx কে বলা হয় x0 এ ƒ এর তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার, এই সীমা সসীম বিদ্যমান প্রদান.এই সীমাটিকে at-এর ডেরিভেটিভও বলা হয় এবং ƒ(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
ফাংশনের ডোমেনে একটি ইচ্ছাকৃত বিন্দু x-এ একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান limΔx→∞ দিয়ে দেওয়া হয় [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx। এটি নিম্নলিখিত যে কোনো একটি অভিব্যক্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল সহ ফাংশনের জন্য, আমরা আংশিক ডেরিভেটিভ সংজ্ঞায়িত করি। বিভিন্ন ভেরিয়েবল সহ একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ হল সেই ভেরিয়েবলগুলির একটির সাপেক্ষে এটির ডেরিভেটিভ, ধরে নিই যে অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলি ধ্রুবক। আংশিক ডেরিভেটিভের প্রতীক হল ∂।
জ্যামিতিকভাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভকে ফাংশন ƒ(x) এর বক্ররেখার ঢাল হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।
ইন্টিগ্রাল কি?
ইন্টিগ্রেশন বা অ্যান্টি-ডিফারেনশিয়েশন হল পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়া। অন্য কথায়, ফাংশনের ডেরিভেটিভ দেওয়া হলে এটি একটি আসল ফাংশন খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া।অতএব, ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) ফাংশন F (x) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, ƒ(x) এর ডোমেনের সমস্ত x এর জন্য।
অভিব্যক্তি ∫ƒ(x) dx ফাংশন ƒ(x) এর ডেরিভেটিভকে নির্দেশ করে। যদি ƒ(x)=F (x), তাহলে ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, যেখানে C একটি ধ্রুবক, ∫ƒ(x) dx কে ƒ(x) এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বলা হয়।
যেকোন ফাংশনের জন্য ƒ, যা অগত্যা নেতিবাচক নয়, এবং বিরতিতে সংজ্ঞায়িত [a, b], a∫b ƒ(x) dx কে [a, b] এর নির্দিষ্ট অখণ্ড ƒ বলা হয়।
a∫bƒ(x) ফাংশনের dx ƒ(x) জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এর ক্ষেত্রফল হিসেবে বক্ররেখা ƒ(x), x-অক্ষ এবং রেখা x=a এবং x=b দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চল।
ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রালের মধ্যে পার্থক্য কী?
• ডেরিভেটিভ হল প্রসেস ডিফারেন্সিয়েশনের ফলাফল, যেখানে ইন্টিগ্রাল হল প্রক্রিয়া ইন্টিগ্রেশনের ফল৷
• একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার ঢালকে প্রতিনিধিত্ব করে, যখন অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রটিকে প্রতিনিধিত্ব করে।
