নির্দিষ্ট বনাম অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেল
ক্যালকুলাস গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা, এবং পার্থক্য ক্যালকুলাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়াটি ইন্টিগ্রেশন হিসাবে পরিচিত, এবং বিপরীতটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে পরিচিত, বা সহজভাবে বলতে গেলে, পার্থক্যের বিপরীত একটি অখণ্ডতা দেয়। তারা যে ফলাফলগুলি তৈরি করে তার উপর ভিত্তি করে অখণ্ডগুলি দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত; নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য।
অনির্দিষ্ট অখণ্ড সম্বন্ধে আরও
Indefinite integral হল একীকরণের একটি সাধারণ রূপ, এবং এটিকে বিবেচিত ফাংশনের অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।ধরুন F-এর ডিফারেন্সিয়েশন f দেয়, এবং f-এর ইন্টিগ্রেশন ইন্টিগ্রাল দেয়। এটি প্রায়শই F(x)=∫ƒ(x)dx বা F=∫ƒ dx হিসাবে লেখা হয় যেখানে F এবং ƒ উভয়ই x এর ফাংশন, এবং F পার্থক্যযোগ্য। উপরোক্ত আকারে, একে রেইম্যান ইন্টিগ্রাল বলা হয় এবং ফলস্বরূপ ফাংশনটি একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের সাথে থাকে। একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য প্রায়শই ফাংশনের একটি পরিবার তৈরি করে; অতএব, অবিচ্ছেদ্য অনির্দিষ্ট।
অখণ্ড এবং একীকরণ প্রক্রিয়া ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের মূলে রয়েছে। যাইহোক, পার্থক্যের বিপরীতে, ইন্টিগ্রেশন সবসময় একটি পরিষ্কার এবং আদর্শ রুটিন অনুসরণ করে না; কখনও কখনও, প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সমাধানটি স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যায় না। সেক্ষেত্রে, বিশ্লেষণাত্মক সমাধান প্রায়ই একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আকারে দেওয়া হয়।
ডেফিনিট ইন্টিগ্রাল সম্পর্কে আরও
Definite integrals হল অনির্দিষ্ট অখণ্ডের অনেক মূল্যবান প্রতিরূপ যেখানে ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া আসলে একটি সসীম সংখ্যা তৈরি করে।এটি একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের মধ্যে ফাংশনের বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ এলাকা হিসাবে গ্রাফিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যখনই ইন্টিগ্রেশন স্বাধীন ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের মধ্যে সঞ্চালিত হয়, তখন ইন্টিগ্রেশন একটি নির্দিষ্ট মান তৈরি করে যা প্রায়ই a∫bƒ(x) হিসাবে লেখা হয় dx বা a∫b ƒdx।
অনির্দিষ্ট অখণ্ড এবং সুনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্যের মাধ্যমে আন্তঃসংযুক্ত, এবং এটি অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট অখণ্ডকে গণনা করার অনুমতি দেয়৷ উপপাদ্যটি বলছে a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) যেখানে F এবং ƒ উভয়ই x এর ফাংশন, এবং F ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য (a, b)। ব্যবধান বিবেচনা করে, a এবং b যথাক্রমে নিম্ন সীমা এবং উপরের সীমা হিসাবে পরিচিত।
শুধুমাত্র বাস্তব ফাংশন দিয়ে থামার পরিবর্তে, ইন্টিগ্রেশনকে জটিল ফাংশনে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং সেই ইন্টিগ্রেলগুলিকে কনট্যুর ইন্টিগ্রেল বলা হয়, যেখানে ƒ হল জটিল ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন।
নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অখণ্ডের মধ্যে পার্থক্য কী?
Indefinite integrals একটি ফাংশনের অ্যান্টি-ডেরিভেট এবং প্রায়শই, একটি নির্দিষ্ট সমাধানের পরিবর্তে ফাংশনের একটি পরিবারকে প্রতিনিধিত্ব করে। সুনির্দিষ্ট অখণ্ডে, একীকরণ একটি সসীম সংখ্যা দেয়৷
Indefinite integrals যুক্ত করে একটি নির্বিচারে পরিবর্তনশীল (অতএব ফাংশনের পরিবার) এবং নির্দিষ্ট integrals-এর কোনো নির্বিচারে ধ্রুবক থাকে না, কিন্তু একটি উচ্চ সীমা এবং একীকরণের নিম্ন সীমা থাকে।
Indefinite integral সাধারণত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান দেয়।
