ল্যাপ্লেস বনাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মস
ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম উভয়ই অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর, যা গাণিতিকভাবে মডেল করা ভৌত সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য গাণিতিক পদ্ধতি হিসাবে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। প্রক্রিয়া সহজ. একটি জটিল গাণিতিক মডেল একটি অখণ্ড রূপান্তর ব্যবহার করে একটি সহজ, সমাধানযোগ্য মডেলে রূপান্তরিত হয়। একবার সরল মডেলটি সমাধান হয়ে গেলে, ইনভার্স ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করা হয়, যা মূল মডেলের সমাধান প্রদান করবে।
উদাহরণস্বরূপ, যেহেতু বেশিরভাগ ভৌত সিস্টেম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পরিণত হয়, সেগুলিকে বীজগণিতীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে বা একটি অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর ব্যবহার করে সহজে সমাধানযোগ্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি নিম্ন স্তরে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। তাহলে সমস্যার সমাধান সহজ হয়ে যাবে।
ল্যাপ্লেস রূপান্তর কি?
একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল t-এর একটি ফাংশন f(t) দেওয়া হলে, এর Laplace ট্রান্সফর্মটি ইন্টিগ্রাল [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। st}f(t)dt [/latex] (যখনই এটি বিদ্যমান থাকে), যা একটি জটিল পরিবর্তনশীল s এর একটি ফাংশন। এটি সাধারণত L { f (t)} দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ফাংশন F(s) এর ইনভার্স ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মকে ফাংশন f(t) এমনভাবে ধরা হয় যে L { f (t)}=F (s), এবং সাধারণ গাণিতিক স্বরলিপিতে আমরা লিখি, L-1{ F (s)}=f (t)। নাল ফাংশন অনুমোদিত না হলে বিপরীত রূপান্তরটিকে অনন্য করা যেতে পারে। কেউ এই দুটিকে ফাংশন স্পেসে সংজ্ঞায়িত রৈখিক অপারেটর হিসাবে সনাক্ত করতে পারে এবং এটি দেখতেও সহজ যে, L -1{ L { f (t)}}=f (t), যদি নাল ফাংশন অনুমোদিত না হয়।
নিম্নলিখিত সারণীতে কিছু সাধারণ ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর তালিকা করা হয়েছে।
ফুরিয়ার রূপান্তর কি?
একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল t-এর একটি ফাংশন f(t) দেওয়া হলে, এর Laplace ট্রান্সফর্মটি integral [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (যখনই এটি বিদ্যমান থাকে), এবং সাধারণত F { f দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (t)}। ইনভার্স ট্রান্সফর্ম F -1{ F (α)} দেওয়া হয় ইন্টিগ্রেল [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মও রৈখিক, এবং ফাংশন স্পেসে সংজ্ঞায়িত একটি অপারেটর হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে।
ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে, মূল ফাংশনটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে যদি ফাংশনে শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যক বিচ্ছিন্নতা থাকে এবং এটি সম্পূর্ণরূপে একত্রিত হয়।
ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মধ্যে পার্থক্য কী?
- একটি ফাংশনের ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম f(t) কে [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], যেখানে এর ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মকে [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex]।
- ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম শুধুমাত্র সমস্ত বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের জন্য ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা সেট করার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করার প্রয়োজন হয় না।
- ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের একটি বিশেষ কেস। এটা দেখা যায় যে উভয়ই অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য মিলে যায়। (অর্থাৎ ল্যাপ্লেসে s ধরুন iα + β যেখানে α এবং β বাস্তব যাতে e β=1/ √(2ᴫ))
- ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আছে এমন প্রতিটি ফাংশনে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম থাকবে কিন্তু উল্টোটা হবে না।
