ফুরিয়ার সিরিজ বনাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম
ফুরিয়ার সিরিজ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনকে বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি এবং প্রশস্ততা সহ সাইন এবং কোসাইনগুলির সমষ্টিতে পচিয়ে দেয়। ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একটি শাখা এবং এটি জোসেফ ফুরিয়ার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যা এর উপাদান ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে একটি সংকেত ভেঙে দেয়। সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত মূল সংকেতকে সিগন্যালের সময় ডোমেন উপস্থাপনা বলা হয়। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে একটি সিগন্যালের ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন উপস্থাপনা বলা হয় কারণ এটি ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভর করে। একটি সিগন্যালের ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন উপস্থাপনা এবং সেই সিগন্যালটিকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত প্রক্রিয়া উভয়কেই ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
ফুরিয়ার সিরিজ কি?
আগে উল্লিখিত হিসাবে, ফুরিয়ার সিরিজ হল সাইন এবং কোসাইনগুলির অসীম যোগফল ব্যবহার করে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি সম্প্রসারণ। ফুরিয়ার সিরিজটি প্রাথমিকভাবে তাপ সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় তৈরি করা হয়েছিল কিন্তু পরে দেখা গেছে যে একই কৌশলটি গাণিতিক সমস্যাগুলির একটি বড় সেট বিশেষ করে ধ্রুব সহগ সহ রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এখন, ফুরিয়ার সিরিজের বৈদ্যুতিক প্রকৌশল, কম্পন বিশ্লেষণ, ধ্বনিবিদ্যা, অপটিক্স, সিগন্যাল প্রসেসিং, ইমেজ প্রসেসিং, কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং ইকোনোমেট্রিক্স সহ প্রচুর সংখ্যক ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। ফুরিয়ার সিরিজ সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের অর্থগোনালিটি সম্পর্ক ব্যবহার করে। ফুরিয়ার সিরিজের গণনা এবং অধ্যয়নকে হারমোনিক বিশ্লেষণ বলা হয় এবং নির্বিচারে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার সময় এটি খুব দরকারী, কারণ এটি ফাংশনটিকে সহজ শর্তে ভাঙ্গার অনুমতি দেয় যা মূল সমস্যার সমাধান পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
ফুরিয়ার রূপান্তর কি?
ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সময় ডোমেনে একটি সংকেত এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে এর উপস্থাপনার মধ্যে একটি সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। ফুরিয়ার রূপান্তর একটি ফাংশনকে দোলনীয় ফাংশনে পরিণত করে। যেহেতু এটি একটি রূপান্তর, তাই রূপান্তরটি জেনে আসল সংকেত পাওয়া যেতে পারে, এইভাবে প্রক্রিয়াটিতে কোনও তথ্য তৈরি বা হারিয়ে যায় না। ফুরিয়ার সিরিজের অধ্যয়ন আসলে ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য প্রেরণা প্রদান করে। সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্যের কারণে একটি অখণ্ড ব্যবহার করে প্রতিটি তরঙ্গের যোগফলের পরিমাণ পুনরুদ্ধার করা সম্ভব। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেমন লিনিয়ারিটি, ট্রান্সলেশন, মড্যুলেশন, স্কেলিং, কনজুগেশন, ডুয়ালিটি এবং কনভোলিউশন। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানে প্রয়োগ করা হয় যেহেতু ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস রূপান্তরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম নিউক্লিয়ার ম্যাগনেটিক রেজোন্যান্স (NMR) এবং অন্যান্য ধরণের স্পেকট্রোস্কোপিতেও ব্যবহৃত হয়।
ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মধ্যে পার্থক্য
ফুরিয়ার সিরিজ হল সাইন এবং কোসাইনগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে পর্যায়ক্রমিক সংকেতের একটি সম্প্রসারণ যখন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম হল টাইম ডোমেইন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সিগন্যালগুলিকে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত প্রক্রিয়া বা ফাংশন। ফুরিয়ার সিরিজ পর্যায়ক্রমিক সংকেতের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম অ্যাপরিওডিক (পর্যায়ক্রমিকতা ছাড়া ঘটতে) সংকেতগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ফুরিয়ার সিরিজের অধ্যয়ন আসলে ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য প্রেরণা প্রদান করে৷
