পাওয়ার সিরিজ এবং টেলর সিরিজের মধ্যে পার্থক্য

2024 লেখক: Alex Aldridge | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 13:33

পাওয়ার সিরিজ বনাম টেলর সিরিজ

গণিতে, একটি বাস্তব ক্রম হল বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রম তালিকা। আনুষ্ঠানিকভাবে, এটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট থেকে বাস্তব সংখ্যার সেট পর্যন্ত একটি ফাংশন। যদি a_n একটি অনুক্রমের n^th পদ হয়, তাহলে আমরা ক্রমটিকে ₁ দ্বারা বা দ্বারা নির্দেশ করি, a ₂, …, a_n, ….উদাহরণস্বরূপ, ক্রম 1, ½, ⅓, …, ^{1 বিবেচনা করুন} / _{n, … । এটিকে {1/n} হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে।}

অনুক্রম ব্যবহার করে একটি সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। একটি সিরিজ হল একটি অনুক্রমের পদগুলির সমষ্টি। অতএব, প্রতিটি অনুক্রমের জন্য, একটি যুক্ত ক্রম এবং তদ্বিপরীত আছে।যদি {a_{n} বিবেচনাধীন ক্রম হয়, তাহলে সেই ক্রম দ্বারা গঠিত সিরিজটিকে এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:}

এইভাবে, উপরের উদাহরণে, সংশ্লিষ্ট সিরিজ হল 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

নাম অনুসারে, পাওয়ার সিরিজ একটি বিশেষ ধরণের সিরিজ এবং এটি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং সম্পর্কিত গাণিতিক মডেলিংয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। টেলর সিরিজ হল একটি বিশেষ পাওয়ার সিরিজ যা সুপরিচিত ফাংশনগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করার বিকল্প এবং সহজে ম্যানিপুলেট করার উপায় প্রদান করে৷

পাওয়ার সিরিজ কি?

একটি পাওয়ার সিরিজ হল ফর্মের একটি সিরিজ

যা c কে কেন্দ্র করে কিছু ব্যবধানের জন্য অভিসারী (সম্ভবত)। সহগ a_{nবাস্তব বা জটিল সংখ্যা হতে পারে এবং x থেকে স্বাধীন; অর্থাৎ ডামি ভেরিয়েবল।}

উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি n এর জন্য _n=1 সেট করে এবং c=0, পাওয়ার সিরিজ 1+x+x² +…..+ x^{+… পাওয়া যায়। এটি পর্যবেক্ষণ করা সহজ যে যখন x ε (-1, 1), এই পাওয়ার সিরিজটি 1/(1-x) এ রূপান্তরিত হয়।}

একটি পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হয় যখন x=c। x এর অন্যান্য মান যার জন্য পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হয় সেগুলি সর্বদা c কে কেন্দ্র করে একটি উন্মুক্ত ব্যবধানে রূপ নেবে। অর্থাৎ, একটি মান থাকবে 0≤ R ≤ ∞ যেমন প্রতিটি x সন্তোষজনক |x-c|≤ R এর জন্য, পাওয়ার সিরিজটি অভিসারী এবং প্রতিটি x সন্তোষজনক |x-c|> R এর জন্য, পাওয়ার সিরিজটি ভিন্ন। এই মান R কে শক্তি সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ বলা হয় (R যেকোনো বাস্তব মান বা ধনাত্মক অসীম নিতে পারে)।

নিম্নলিখিত নিয়ম ব্যবহার করে পাওয়ার সিরিজ যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করা যায়। দুটি পাওয়ার সিরিজ বিবেচনা করুন:

।

তারপর,

অর্থাৎ যেমন পদগুলি একসাথে যোগ বা বিয়োগ করা হয়। এছাড়াও, পরিচয় ব্যবহার করে দুটি পাওয়ার সিরিজকে গুণ ও ভাগ করা সম্ভব,

টেলর সিরিজ কি?

টেলর সিরিজ একটি ফাংশন f (x) এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একটি ব্যবধানে অসীমভাবে পার্থক্যযোগ্য। অনুমান করুন f(x) একটি ব্যবধানে ডিফারেনশিয়াবল যা c কেন্দ্রিক। তারপর পাওয়ার সিরিজ যাদ্বারা দেওয়া হয়

কে c সম্পর্কে f (x) ফাংশনের টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ বলা হয়। (এখানে f⁽ⁿ⁾ (c) x=c-এ n^{thডেরিভেটিভ বোঝায়)। সাংখ্যিক বিশ্লেষণে, এই অসীম সম্প্রসারণের একটি সীমিত সংখ্যক পদ ব্যবহার করা হয় বিন্দুতে মান গণনা করার জন্য যেখানে সিরিজটি মূল ফাংশনের সাথে অভিসারী হয়।}

A ফাংশন f (x) কে ব্যবধানে বিশ্লেষণাত্মক বলা হয় (a, b), যদি প্রতিটি x ε (a, b) এর জন্য f (x) এর টেলর সিরিজ f (f) ফাংশনে রূপান্তরিত হয় এক্স). উদাহরণস্বরূপ, 1/(1-x) বিশ্লেষণাত্মক (-1, 1), যেহেতু এর টেলর সম্প্রসারণ 1+x+x²+….+ x ^{+… সেই ব্যবধানে ফাংশনে রূপান্তরিত হয়, এবং e}x ^{সর্বত্র বিশ্লেষণাত্মক, যেহেতু ex} এর টেলর সিরিজ e ^{এ রূপান্তরিত হয় x} প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য x.