দ্বিপদ বনাম পয়সন
সত্ত্বেও, অসংখ্য ডিস্ট্রিবিউশন 'অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টন' দ্বৈপদী এবং পয়সন 'বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টন'-এর জন্য এবং বহুল ব্যবহৃত মধ্যেও উদাহরণ সেট করে। এই সাধারণ সত্যের পাশাপাশি, এই দুটি বিতরণের বৈপরীত্যের জন্য উল্লেখযোগ্য পয়েন্টগুলি সামনে আনা যেতে পারে এবং একজনকে চিহ্নিত করা উচিত যে কোন অনুষ্ঠানে এর মধ্যে একটি সঠিকভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে।
দ্বিপদ বন্টন
‘দ্বিপদ বণ্টন’ হল প্রাথমিক বিতরণ, সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানগত সমস্যা মোকাবেলায় ব্যবহৃত। যার মধ্যে ট্রায়ালের 'N' আকারের মধ্যে প্রতিস্থাপনের সাথে 'n' এর একটি নমুনা আকার আঁকা হয় যার মধ্যে 'p' সাফল্য পাওয়া যায়।বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি করা হয়েছে, পরীক্ষা যা দুটি প্রধান ফলাফল প্রদান করে, ঠিক 'হ্যাঁ', 'না' ফলাফলের মতো। এর বিপরীতে, যদি পরীক্ষাটি প্রতিস্থাপন ছাড়াই করা হয়, তবে মডেলটি 'হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন' এর সাথে মিলিত হবে যা তার প্রতিটি ফলাফল থেকে স্বাধীন হবে। যদিও 'দ্বিপদ' এই অনুষ্ঠানেও কার্যকর হয়, যদি জনসংখ্যা ('N') 'n'-এর তুলনায় অনেক বেশি হয় এবং শেষ পর্যন্ত বলা হয় আনুমানিকতার জন্য সেরা মডেল৷
তবে, বেশিরভাগ অনুষ্ঠানে আমাদের বেশিরভাগই 'বার্নোলি ট্রায়ালস' শব্দটি নিয়ে বিভ্রান্ত হয়ে পড়েন। তবুও, 'দ্বিপদ' এবং 'বার্নৌলি' উভয়েরই অর্থ একই রকম। যখনই 'n=1' 'Bernoulli Trial' বিশেষভাবে নামকরণ করা হয়, 'Bernoulli Distribution'
নিম্নলিখিত সংজ্ঞা হল 'দ্বিপদ' এবং 'বার্নৌলি'-এর মধ্যে সঠিক ছবি আনার একটি সহজ রূপ:
'দ্বিপদ বণ্টন' হল স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা 'বার্নোলি ট্রায়াল' এর সমষ্টি। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ উল্লেখ করা হল যা ‘দ্বিপদী’এর অধীনে আসে
সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন (pmf): (k) pk(1- p)n-k; (k)=[n!] / [k!] [(n-k) !]
মান: np
মিডিয়ান: np
ভ্যারিয়েন্স: np(1-p)
এই বিশেষ উদাহরণে, ‘n’- মডেলের সমগ্র জনসংখ্যা
‘k’- যার আকার আঁকা হয়েছে এবং ‘n’ থেকে প্রতিস্থাপিত হয়েছে
‘p’- পরীক্ষার প্রতিটি সেটের জন্য সাফল্যের সম্ভাবনা যা শুধুমাত্র দুটি ফলাফল নিয়ে গঠিত
বিষ বিতরণ
অন্যদিকে এই ‘পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন’ সবচেয়ে নির্দিষ্ট ‘দ্বিপদ বণ্টন’ যোগফলের ক্ষেত্রে বেছে নেওয়া হয়েছে। অন্য কথায়, কেউ সহজেই বলতে পারে যে 'পয়সন' হল 'দ্বিপদ'-এর একটি উপসেট এবং 'দ্বিপদ'-এর একটি সীমাবদ্ধ কেস।
যখন একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে এবং একটি পরিচিত গড় হারের মধ্যে একটি ঘটনা ঘটে তখন এটি সাধারণ যে কেসটি এই 'পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন' ব্যবহার করে মডেল করা যেতে পারে। তা ছাড়া, অনুষ্ঠানটিও হতে হবে ‘স্বাধীন’। যদিও এটি 'দ্বিপদ'-এর ক্ষেত্রে নয়।
‘রেট’ নিয়ে সমস্যা দেখা দিলে ‘পয়সন’ ব্যবহার করা হয়। এটি সর্বদা সত্য নয়, তবে প্রায়শই এটি সত্য নয়৷
সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন (pmf): (λk /k!) e -λ
মান: λ
ভ্যারিয়েন্স: λ
বাইনোমিয়াল এবং পয়সনের মধ্যে পার্থক্য কী?
সামগ্রিকভাবে উভয়ই 'বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ'-এর উদাহরণ। এর সাথে যোগ করে, 'দ্বিপদ' হল সাধারণ বন্টন যা প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, তবে 'পয়সন' একটি 'দ্বিপদ'-এর একটি সীমাবদ্ধ কেস হিসাবে উদ্ভূত হয়।
এই সমস্ত অধ্যয়ন অনুসারে, আমরা একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে 'নির্ভরতা' নির্বিশেষে আমরা সমস্যাগুলির মুখোমুখি হওয়ার জন্য 'দ্বিপদ' প্রয়োগ করতে পারি কারণ এটি স্বাধীন ঘটনার জন্যও একটি ভাল অনুমান। বিপরীতে, প্রতিস্থাপনের সাথে প্রশ্ন/সমস্যায় 'পয়সন' ব্যবহার করা হয়।
দিনের শেষে, যদি কোনও সমস্যা উভয় উপায়ে সমাধান করা হয়, যা 'নির্ভরশীল' প্রশ্নের জন্য, তবে প্রতিটি ক্ষেত্রে একই উত্তর খুঁজে বের করতে হবে।
