দ্বিপদ বনাম সাধারণ বিতরণ
এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এই সম্ভাব্যতা বণ্টনের মধ্যে, দ্বিপদী বন্টন এবং স্বাভাবিক বন্টন হল বাস্তব জীবনে সবচেয়ে বেশি ঘটতে থাকা দুটি।
দ্বিপদ বন্টন কি?
দ্বিপদী বন্টন হল সম্ভাব্যতা বন্টন যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর সাথে সম্পর্কিত, যা স্বাধীন হ্যাঁ/না পরীক্ষার একটি সীমিত ক্রম সাফল্যের সংখ্যা যার প্রতিটির সাফল্যের সম্ভাবনা রয়েছে। X এর সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে এটি একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল; তাই, দ্বিপদী বন্টনও বিচ্ছিন্ন।
বন্টনটিকে X ~ B (n, p) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যেখানে n হল পরীক্ষার সংখ্যা এবং p হল সাফল্যের সম্ভাবনা৷ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব অনুসারে, আমরা অনুমান করতে পারি যে B (n, p) সম্ভাব্য ভর ফাংশন অনুসরণ করে [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p))^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]। এই সমীকরণ থেকে, এটি আরও অনুমান করা যেতে পারে যে X, E(X)=np এর প্রত্যাশিত মান এবং X, V(X)=np (1- p) এর প্রকরণ।
উদাহরণস্বরূপ, একটি মুদ্রা 3 বার ছুঁড়ে ফেলার একটি এলোমেলো পরীক্ষা বিবেচনা করুন। সফলতাকে H প্রাপ্তি হিসাবে, ব্যর্থতাকে T প্রাপ্তির হিসাবে এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল Xকে পরীক্ষায় সাফল্যের সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর X ~ B (3, 0.5) এবং X এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন [latex] \binom{3}{k} 0 দ্বারা প্রদত্ত।5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]। অতএব, কমপক্ষে 2 এইচ পাওয়ার সম্ভাবনা হল P(X ≥ 2)=P (X=2 বা X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
স্বাভাবিক বন্টন কি?
স্বাভাবিক বণ্টন হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত ক্রমাগত সম্ভাব্যতা বন্টন, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]। পরামিতি [latex] \mu এবং \\sigma [/latex] সুদের জনসংখ্যার গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি নির্দেশ করে। যখন [latex] \mu=0 এবং \\sigma=1 [/latex] বন্টনকে বলা হয় আদর্শ স্বাভাবিক বন্টন।
এই বন্টনটিকে স্বাভাবিক বলা হয় কারণ বেশিরভাগ প্রাকৃতিক ঘটনাই স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, মানব জনসংখ্যার আইকিউ সাধারণত বিতরণ করা হয়।গ্রাফ থেকে দেখা যায় এটি ইউনিমোডাল, গড় সম্পর্কে প্রতিসম এবং ঘণ্টা আকৃতির। গড়, মোড, এবং মধ্যমা কাকতালীয়। বক্ররেখার নিচের এলাকাটি জনসংখ্যার অংশের সাথে মিলে যায়, একটি প্রদত্ত শর্তকে সন্তুষ্ট করে।
ব্যবধানে জনসংখ্যার অংশ [ল্যাটেক্স] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] প্রায় 68.2%, 95.6% এবং 99.8% যথাক্রমে।
দ্বিপদ এবং সাধারণ বন্টনের মধ্যে পার্থক্য কী?
- দ্বিপদ বণ্টন হল একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বণ্টন যেখানে স্বাভাবিক বন্টন একটি অবিচ্ছিন্ন।
- দ্বিপদ বন্টনের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হল [ল্যাটেক্স]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], যেখানে স্বাভাবিক বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হল [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- দ্বিপদী বন্টন কিছু শর্তে স্বাভাবিক বন্টনের সাথে আনুমানিক হয় কিন্তু অন্যভাবে নয়।
