পার্থক্য সমীকরণ বনাম ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ
একটি প্রাকৃতিক ঘটনাকে অনেকগুলি স্বাধীন ভেরিয়েবল এবং প্যারামিটারের ফাংশন দ্বারা গাণিতিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। বিশেষ করে যখন এগুলি স্থানিক অবস্থান এবং সময়ের একটি ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা হয় তখন এটি সমীকরণে পরিণত হয়। স্বাধীন ভেরিয়েবল বা প্যারামিটারের পরিবর্তনের সাথে ফাংশন পরিবর্তন হতে পারে। ফাংশনে একটি অসীম পরিবর্তন ঘটে যখন এর একটি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করা হয় তাকে সেই ফাংশনের ডেরিভেটিভ বলা হয়।
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল যে কোনও সমীকরণ যাতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন নিজেই থাকে।একটি সহজ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র। যদি m ভরের কোনো বস্তু ত্বরণ 'a' এর সাথে চলতে থাকে এবং F বল দ্বারা কাজ করা হয় তাহলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র আমাদের বলে যে F=ma। এখানে আবার, 'a' সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, আমরা 'a' কে আবার লিখতে পারি; a=dv/dt; v হল বেগ। বেগ হল স্থান এবং সময়ের ফাংশন, সেটি হল v=ds/dt; তাই 'a'=d2s/dt2
এইগুলি মাথায় রেখে আমরা নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটিকে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে পুনরায় লিখতে পারি;
‘F’ একটি ফাংশন হিসাবে v এবং t – F(v, t)=mdv/dt, অথবা
'F' s এবং t - F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
দুই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আছে; সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, সংক্ষেপে ODE বা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, PDE দ্বারা সংক্ষিপ্ত। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সাধারণ ডেরিভেটিভ (শুধু একটি পরিবর্তনশীলের ডেরিভেটিভ) থাকবে। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে ডিফারেনশিয়াল ডেরিভেটিভস (একাধিক পরিবর্তনশীলের ডেরিভেটিভ) থাকবে।
যেমন F=m d2s/dt2 একটি ODE, যেখানে α2 d 2u/dx2=du/dt একটি PDE, এটিতে t এবং x এর ডেরিভেটিভ রয়েছে।
পার্থক্য সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতোই কিন্তু আমরা একে ভিন্ন প্রসঙ্গে দেখি। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে, সময়ের মতো স্বাধীন পরিবর্তনশীলকে অবিচ্ছিন্ন সময় ব্যবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে বিবেচনা করা হয়। বিচ্ছিন্ন সময় ব্যবস্থায়, আমরা ফাংশনটিকে পার্থক্য সমীকরণ বলে থাকি।
পার্থক্য সমীকরণ হল পার্থক্যের একটি ফাংশন। স্বাধীন ভেরিয়েবলের পার্থক্য তিন প্রকার; সংখ্যার ক্রম, বিচ্ছিন্ন গতিশীল সিস্টেম এবং পুনরাবৃত্ত ফাংশন।
সংখ্যার ক্রমানুসারে ক্রমানুসারে প্রতিটি সংখ্যাকে অনুক্রমের পূর্ববর্তী সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করার জন্য একটি নিয়ম ব্যবহার করে পরিবর্তনটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে তৈরি করা হয়।
একটি পৃথক গতিশীল সিস্টেমে পার্থক্য সমীকরণ কিছু পৃথক ইনপুট সংকেত নেয় এবং আউটপুট সংকেত তৈরি করে।
পার্থক্য সমীকরণ হল পুনরাবৃত্ত ফাংশনের জন্য একটি পুনরাবৃত্ত মানচিত্র।যেমন, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), …. হল একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশনের ক্রম। f(y0) হল y0 কে-তম পুনরাবৃত্তি fk দ্বারা চিহ্নিত করা হবে (y0).
