ইন্টিগ্রেশন বনাম সমষ্টি
উপরের উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতে, একীকরণ এবং সমষ্টি প্রায়ই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপে পাওয়া যায়। এগুলি আপাতদৃষ্টিতে বিভিন্ন সরঞ্জাম হিসাবে এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ব্যবহৃত হয়, তবে তারা খুব ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক ভাগ করে নেয়৷
সংশ্লেষণ সম্পর্কে আরও
সংখ্যা হল সংখ্যার একটি ক্রম যোগ করার ক্রিয়াকলাপ এবং অপারেশনটিকে প্রায়শই গ্রীক অক্ষর ক্যাপিটাল সিগমা Σ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি যোগফলকে সংক্ষিপ্ত করতে এবং অনুক্রমের যোগফল/মোট সমান করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলি প্রায়শই সিরিজের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়, যা মূলত অসীম ক্রমগুলিকে সংক্ষিপ্ত করে।এগুলি ভেক্টর, ম্যাট্রিক্স বা বহুপদগুলির যোগফল নির্দেশ করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।
সমষ্টিটি সাধারণত একটি সাধারণ পদ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এমন একটি মানের জন্য করা হয়, যেমন একটি সিরিজ যার একটি সাধারণ শব্দ রয়েছে। যোগফলের প্রারম্ভিক বিন্দু এবং শেষ বিন্দু যথাক্রমে সমষ্টির নিম্ন সীমা এবং উপরের সীমা হিসাবে পরিচিত।
উদাহরণস্বরূপ, অনুক্রমের যোগফল a1, a2, a3, a 4, …, an a1 + a2 + a 3 + … + an যা সহজে সমষ্টি স্বরলিপি ব্যবহার করে ∑ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে i=1 ai; i কে বলা হয় সমষ্টির সূচক।
অ্যাপ্লিকেশনের উপর ভিত্তি করে সমষ্টির জন্য অনেক বৈচিত্র ব্যবহার করা হয়। কিছু ক্ষেত্রে, উপরের সীমা এবং নিম্ন সীমা একটি ব্যবধান বা একটি পরিসীমা হিসাবে দেওয়া যেতে পারে, যেমন ∑1≤i≤100 ai এবং ∑i∈[1, 100] ai অথবা এটি ∑i∈P এর মতো সংখ্যার সেট হিসাবে দেওয়া যেতে পারে ai, যেখানে P একটি সংজ্ঞায়িত সেট।
কিছু ক্ষেত্রে, দুই বা ততোধিক সিগমা চিহ্ন ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে সেগুলি নিম্নরূপ সাধারণীকরণ করা যেতে পারে; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
এছাড়া, যোগফল অনেক বীজগণিত নিয়ম অনুসরণ করে। যেহেতু এমবেডেড ক্রিয়াকলাপটি সংযোজন, তাই বীজগণিতের অনেক সাধারণ নিয়ম যোগফলের জন্য এবং যোগফল দ্বারা চিত্রিত পৃথক পদের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে।
ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কে আরও
একীকরণকে ডিফারেন্সিয়েশনের বিপরীত প্রক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিন্তু এর জ্যামিতিক দৃষ্টিতে এটিকে ফাংশনের বক্ররেখা এবং অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ এলাকা হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে। তাই, ক্ষেত্রফলের গণনা চিত্রে দেখানো হিসাবে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের মান দেয়।
চিত্র সূত্র:
নির্দিষ্ট অখণ্ডের মান আসলে বক্ররেখা এবং অক্ষের ভিতরে থাকা ছোট স্ট্রিপের সমষ্টি। প্রতিটি স্ট্রিপের ক্ষেত্রফল বিবেচিত অক্ষের বিন্দুতে উচ্চতা×প্রস্থ। প্রস্থ হল একটি মান যা আমরা বেছে নিতে পারি, বলুন ∆x। এবং উচ্চতা হল বিবেচিত বিন্দুতে ফাংশনের মান প্রায়, বলুন f (xi)। ডায়াগ্রাম থেকে, এটা স্পষ্ট যে স্ট্রিপগুলি যত ছোট হবে তত ভাল স্ট্রিপগুলি আবদ্ধ এলাকার ভিতরে ফিট হবে, তাই মানের আনুমানিক আরও ভাল।
সুতরাং, সাধারণভাবে a এবং b বিন্দুর মধ্যে (অর্থাৎ ব্যবধানে [a, b] যেখানে a<b) নির্দিষ্ট অখণ্ড I ≅ f (x1) হিসাবে দেওয়া যেতে পারে)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, যেখানে n হল স্ট্রিপের সংখ্যা (n=(b-a)/∆x)। ক্ষেত্রফলের এই সমষ্টিকে সহজেই I ≅ ∑i=1 f (xi) হিসাবে সমন্বিত স্বরলিপি ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যেতে পারে)∆x.যেহেতু ∆x ছোট হলে আনুমানিকতা ভাল হয়, আমরা ∆x→0 হলে মান গণনা করতে পারি। অতএব, I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
উপরের ধারণা থেকে একটি সাধারণীকরণ হিসাবে, আমরা i দ্বারা সূচীকৃত বিবেচিত ব্যবধানের উপর ভিত্তি করে ∆x চয়ন করতে পারি (অবস্থানের উপর ভিত্তি করে ক্ষেত্রফলের প্রস্থ নির্বাচন করে)। তারপর আমরা পাই
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
এটি ইন্টারভালে [a, b] ফাংশনের f(x) এর Reimann Integral নামে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে a এবং b অখণ্ডের উপরের সীমা এবং নিম্ন সীমা হিসাবে পরিচিত। Remann integral হল সমস্ত ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতির একটি মৌলিক রূপ৷
সারাংশে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ অসীম হলে ইন্টিগ্রেশন হল ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।
একীকরণ এবং সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য কী?
• সমষ্টি সংখ্যার একটি ক্রম যোগ করছে। সাধারণত, সমষ্টি এই ফর্মে দেওয়া হয় ∑i=1 ai যখন অনুক্রমের পদগুলি একটি প্যাটার্ন আছে এবং একটি সাধারণ শব্দ ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে৷
• ইন্টিগ্রেশন মূলত ফাংশনের বক্ররেখা, অক্ষ এবং ঊর্ধ্ব ও নিম্ন সীমা দ্বারা আবদ্ধ এলাকা। এই এলাকাটি আবদ্ধ এলাকার অন্তর্ভুক্ত অনেক ছোট এলাকার সমষ্টি হিসাবে দেওয়া যেতে পারে।
• সমষ্টি ঊর্ধ্ব এবং নিম্ন সীমার সাথে বিচ্ছিন্ন মানগুলিকে জড়িত করে, যেখানে একীকরণে অবিচ্ছিন্ন মানগুলি জড়িত৷
• ইন্টিগ্রেশনকে যোগফলের একটি বিশেষ রূপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।
• সংখ্যাসূচক গণনা পদ্ধতিতে, সংহতকরণ সর্বদা একটি সমষ্টি হিসাবে সঞ্চালিত হয়।
