অর্থোগোনাল বনাম অর্থনর্মাল
গণিতে, অর্থোগোনাল এবং অর্থনর্মাল দুটি শব্দ প্রায়শই ভেক্টরের একটি সেটের সাথে ব্যবহৃত হয়। এখানে, 'ভেক্টর' শব্দটি এই অর্থে ব্যবহার করা হয়েছে যে এটি একটি ভেক্টর স্থানের একটি উপাদান - রৈখিক বীজগণিতে ব্যবহৃত একটি বীজগণিতীয় কাঠামো। আমাদের আলোচনার জন্য, আমরা একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান বিবেচনা করব - একটি ভেক্টর স্পেস V এর সাথে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য যা V. এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
উদাহরণস্বরূপ, একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের জন্য, স্থান হল সাধারণ ডট পণ্যের সাথে সমস্ত 3-মাত্রিক অবস্থান ভেক্টরের সেট।
অর্থোগোনাল কি?
একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান V এর একটি খালি উপসেট S অর্থোগোনাল বলা হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি স্বতন্ত্র u এর জন্য, S, [u, v]=0; অর্থাৎ u এবং v এর অভ্যন্তরীণ গুণফল অভ্যন্তরীণ পণ্যের স্থানের শূন্য স্কেলারের সমান।
উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত 3-মাত্রিক অবস্থান ভেক্টরের সেটে, এটি বলার সমতুল্য যে, প্রতিটি পৃথক জোড়া অবস্থান ভেক্টরের জন্য S, p এবং q এ লম্ব। (মনে রাখবেন যে এই ভেক্টর স্পেসের অভ্যন্তরীণ পণ্যটি হল ডট পণ্য। এছাড়াও, দুটি ভেক্টরের বিন্দু গুণফল 0 এর সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়।)
S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} সেটটি বিবেচনা করুন, যা 3-মাত্রিক অবস্থান ভেক্টরগুলির একটি উপসেট। লক্ষ্য করুন যে (0, 2, 0)।(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0)।(0, 0, 5)=0 এবং (0, 2, 0)।(0, 0), 5)=0. তাই S সেটটি অর্থোগোনাল। বিশেষ করে, দুটি ভেক্টরকে অর্থোগোনাল বলা হয় যদি তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফল 0 হয়। তাই, সিস অর্থোগোনালের প্রতিটি ভেক্টরের জোড়া।
অর্থনরমাল কি?
একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান V এর একটি খালি উপসেট S অর্থনর্মাল বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র S অর্থোগোনাল হয় এবং প্রতিটি ভেক্টরের জন্য S, [u, u]=1 হয়। অতএব, এটি দেখা যায় যে প্রতিটি অর্থনর্মাল সেট অর্থোগোনাল কিন্তু উল্টো নয়।
উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত 3-মাত্রিক অবস্থান ভেক্টরের সেটে, এটি বলার সমতুল্য যে, S, p এবং q তে অবস্থান ভেক্টরের প্রতিটি স্বতন্ত্র জোড়ার জন্য, p এবং q একে অপরের সাথে লম্ব এবং এর জন্য S, |p| তে প্রতিটি পি=1. এর কারণ হল শর্ত [p, p]=1 কমিয়ে p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, যা |p এর সমতুল্য |=1. অতএব, একটি অর্থোগোনাল সেট দেওয়া হলে আমরা সর্বদা প্রতিটি ভেক্টরকে তার মাত্রা দ্বারা ভাগ করে একটি অনুরূপ অর্থনরমাল সেট তৈরি করতে পারি।
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} হল সমস্ত 3-মাত্রিক অবস্থান ভেক্টরের সেটের একটি অর্থনর্মাল উপসেট। এটা সহজে দেখা যায় যে S সেটের প্রতিটি ভেক্টরকে তাদের মাত্রা দ্বারা ভাগ করে এটি পাওয়া গেছে।
অর্থোগোনাল এবং অর্থনর্মালের মধ্যে পার্থক্য কী?
- একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান V এর একটি খালি উপসেট S অর্থোগোনাল বলা হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি স্বতন্ত্র u এর জন্য, S, [u, v]=0 তে v হয়। তবে, এটি অর্থোনারমাল, যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি অতিরিক্ত শর্ত – প্রতিটি ভেক্টরের জন্য S, [u, u]=1 সন্তুষ্ট হয়।
- যেকোনো অর্থনর্মাল সেট অর্থোগোনাল তবে উল্টো নয়।
- যেকোন অর্থোগোনাল সেট একটি অনন্য অরথনর্মাল সেটের সাথে মিলে যায় তবে একটি অর্থনরমাল সেট অনেক অর্থোগোনাল সেটের সাথে মিলে যেতে পারে।
