একীকরণ বনাম পার্থক্য
একীকরণ এবং পার্থক্য হল ক্যালকুলাসের দুটি মৌলিক ধারণা, যা পরিবর্তনটি অধ্যয়ন করে। বিজ্ঞান, অর্থনীতি বা অর্থ, প্রকৌশল এবং ইত্যাদির মতো অনেক ক্ষেত্রে ক্যালকুলাসের বিভিন্ন ধরনের অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।
পার্থক্য
পার্থক্য হল ডেরিভেটিভ গণনার বীজগাণিতিক পদ্ধতি। একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল বা গ্রেডিয়েন্ট (গ্রাফ)। যে কোনো বিন্দুতে একটি বক্ররেখার গ্রেডিয়েন্ট হল প্রদত্ত বিন্দুতে সেই বক্ররেখায় টানা স্পর্শকের গ্রেডিয়েন্ট। অরৈখিক বক্ররেখার জন্য, বক্ররেখার গ্রেডিয়েন্ট অক্ষ বরাবর বিভিন্ন বিন্দুতে পরিবর্তিত হতে পারে।অতএব, যে কোনো সময়ে গ্রেডিয়েন্ট বা ঢাল গণনা করা কঠিন। যে কোনো বিন্দুতে বক্ররেখার গ্রেডিয়েন্ট গণনা করতে ডিফারেনশিয়ান প্রক্রিয়া কার্যকর।
ডেরিভেটিভের আরেকটি সংজ্ঞা হল, "অন্য সম্পত্তির একক পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত একটি সম্পত্তির পরিবর্তন।"
ধরুন f(x) একটি স্বাধীন চলক x এর একটি ফাংশন। স্বাধীন চলক x-এ একটি ছোট পরিবর্তন (∆x) ঘটলে, f(x) ফাংশনে একটি অনুরূপ পরিবর্তন ∆f(x) হয়; তাহলে অনুপাত ∆f(x)/∆x হল x এর সাপেক্ষে f(x) এর পরিবর্তনের হারের একটি পরিমাপ। এই অনুপাতের সীমা মান, যেহেতু ∆x শূন্যের দিকে থাকে, lim∆x→0(f(x)/∆x) ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ বলা হয় f(x), x এর সাপেক্ষে; অন্য কথায়, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে f(x) এর তাৎক্ষণিক পরিবর্তন x.
একীকরণ
ইন্টিগ্রেশন হল নির্দিষ্ট অখণ্ড বা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার প্রক্রিয়া। একটি বাস্তব ফাংশন f(x) এবং বাস্তব লাইনে একটি বদ্ধ ব্যবধান [a, b] এর জন্য, নির্দিষ্ট অখণ্ড, a∫b f(x), একটি ব্যবধানের শেষ বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফ, অনুভূমিক অক্ষ এবং দুটি উল্লম্ব রেখার মধ্যে ক্ষেত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।যখন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান দেওয়া হয় না, তখন এটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হিসাবে পরিচিত। অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল গণনা করা যেতে পারে।
একীকরণ এবং পার্থক্যের মধ্যে পার্থক্য কী?
একীকরণ এবং পার্থক্যের মধ্যে পার্থক্য হল "বর্গমূল" এবং "বর্গমূল গ্রহণ" এর মধ্যে পার্থক্যের মতো। যদি আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ করি এবং তারপর ফলাফলের বর্গমূল নিই, তাহলে ধনাত্মক বর্গমূলের মানটি হবে সেই সংখ্যাটি যা আপনি বর্গ করেছেন। একইভাবে, যদি আপনি ফলাফলের উপর ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করেন, যা আপনি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f(x) পার্থক্য করে প্রাপ্ত করেছেন, এটি মূল ফাংশনে ফিরে যাবে এবং এর বিপরীতে।
উদাহরণস্বরূপ, F(x) কে f(x)=x ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য হতে দিন, তাই, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, যেখানে c একটি নির্বিচারে ধ্রুবক। x এর সাথে F(x) এর পার্থক্য করার সময় আমরা পাই, F'(x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, অতএব, F(x) এর ডেরিভেটিভ f(এর সমান x)।
সারাংশ
– পার্থক্য একটি বক্ররেখার ঢাল গণনা করে, যখন ইন্টিগ্রেশন বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রফল গণনা করে৷
– ইন্টিগ্রেশন হল পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়া এবং তদ্বিপরীত।
