স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দুর মধ্যে মূল পার্থক্য হল যে স্থির বিন্দু একটি সিস্টেমের স্থির-স্থিতি খুঁজে পেতে উপযোগী, যেখানে ভারসাম্য বিন্দু হল সেই অবস্থা যেখানে সিস্টেম ভেরিয়েবল পরিবর্তন হওয়ার সাথে সাথে সিস্টেমটি পরিবর্তিত হয় না।
স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দু একটি পছন্দসই ভৌত সিস্টেমের স্থির অবস্থা সনাক্ত করতে গণিতের দরকারী পদ।
স্থির বিন্দু কি?
গণিতের একটি ফাংশনের নির্দিষ্ট বিন্দু হল সেই ফাংশনের ডোমেনের একটি উপাদান যা ফাংশনের মাধ্যমে নিজের সাথে ম্যাপ করা যায়। অন্য কথায়, "c" হল "f" ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু যখন f(c)=c।এটি ফিক্সপয়েন্ট বা অপরিবর্তনীয় পয়েন্ট হিসাবেও পরিচিত। অতএব, f(f(…f(c)…))=f(c)=c যা পুনরাবৃত্তভাবে কম্পিউটিং "f" সংক্রান্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ অবসানকারী উদ্বেগ। আমরা নির্দিষ্ট পয়েন্টের একটি সেটকে একটি নির্দিষ্ট সেট হিসাবে নাম দিতে পারি।
এই ঘটনাটি বোঝার জন্য আমাদের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। যদি আমরা বাস্তব সংখ্যায় "f" নিই f(x)=x2 – 3x +4, তাহলে 2 হল "f" এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু কারণ f(2)=2। তবে, সমস্ত ফাংশনের নির্দিষ্ট পয়েন্ট নেই। যেমন যখন f(x)=x + 1, তখন এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থাকে না কারণ "x" কখনই কোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য "x +1" এর সমান হয় না। গ্রাফিকাল পরিভাষা বিবেচনা করে, একটি স্থির বিন্দু "x" বলতে বোঝায় বিন্দু (x, f(x)) যা y=x লাইনে রয়েছে। অন্য কথায়, "f" এর গ্রাফটিতে সেই লাইনের সাথে একটি বিন্দুর মিল রয়েছে৷
স্থির পয়েন্ট হল পর্যায়ক্রমিক বিন্দু যেগুলির সময়কাল একের সমান। প্রজেক্টিভ জ্যামিতি বিবেচনা করে, একটি প্রজেক্টিভিটির স্থির বিন্দুগুলিকে দ্বিগুণ বিন্দু বলা হয়। গ্যালোইস তত্ত্ব অনুসারে, ফিল্ড অটোমরফিজমের একটি সেটের স্থির বিন্দুর সিরিজকে সেই অটোমরফিজমের সেটের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র হিসাবে নামকরণ করা হয়।
অর্থনীতি, পদার্থবিদ্যা, প্রোগ্রামিং ভাষা কম্পাইলার, টাইপ থিওরি, সমস্ত ওয়েব পেজের পেজর্যাঙ্ক মানগুলির ভেক্টর, মার্কভ চেইনের স্থির বন্টন ইত্যাদি সহ নির্দিষ্ট পয়েন্টের বিভিন্ন প্রয়োগ রয়েছে।
ইকুইলিব্রিয়াম পয়েন্ট কি?
একটি ভারসাম্য বিন্দু গণিতের একটি ভিন্ন সমীকরণের একটি ধ্রুবক সমাধান। এই শব্দটি মূলত গণিতের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধীনে আসে।ভারসাম্য সম্পর্কে সমীকরণের রৈখিককরণের eigenvalues-এর লক্ষণগুলি পর্যবেক্ষণ করে আমরা ভারসাম্যকে শ্রেণীবদ্ধ করতে পারি। অন্য কথায়, আমরা কাঙ্খিত সিস্টেমের ভারসাম্য বিন্দুতে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের মূল্যায়ন করে ভারসাম্যকে শ্রেণীবদ্ধ করতে পারি, ফলস্বরূপ eigenvalues খুঁজে বের করে। সেখানে, eigenvalues এর সাথে যুক্ত eigenvector(গুলি) খুঁজে বের করে আমরা ভারসাম্য বিন্দুর আশেপাশে সিস্টেমের আচরণকে পরিমাণগতভাবে নির্ধারণ করতে পারি।
আমরা বলতে পারি একটি ভারসাম্য বিন্দু হাইপারবোলিক যখন ইজেন ভ্যালুর কোনোটিরই আসল অংশ শূন্য থাকে না। যাইহোক, যদি সমস্ত eigenvalue-এর একটি ঋণাত্মক বাস্তব অংশ থাকে, তাহলে ভারসাম্য একটি স্থিতিশীল সমীকরণে পরিণত হয়। একইভাবে, যদি একটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ থাকে, তাহলে ভারসাম্য অস্থির হয়ে যায়। অধিকন্তু, যদি ইজেনভ্যালুতে অন্তত একটি নেতিবাচক বাস্তব অংশ এবং অন্তত একটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ থাকে, তাহলে ভারসাম্য একটি স্যাডল পয়েন্ট পায়৷
স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দুর মধ্যে মিল কী?
- এই পয়েন্টগুলি স্থিতিশীল নাও হতে পারে।
- একটি সিস্টেমের স্থির অবস্থার জন্য উভয় পয়েন্টই বর্ণনা করা হয়েছে।
স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দুর মধ্যে পার্থক্য কী?
নির্দিষ্ট বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দু শব্দগুলি গণিতে ব্যবহৃত হয়। স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দুর মধ্যে মূল পার্থক্য হল যে স্থির বিন্দু একটি সিস্টেমের স্থির-স্থিতি খুঁজে পেতে কার্যকর, যেখানে ভারসাম্য বিন্দু হল সেই অবস্থা যেখানে সিস্টেম ভেরিয়েবল পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে সিস্টেমটি পরিবর্তিত হয় না।
সারাংশ – ফিক্সড পয়েন্ট বনাম ইক্যুইলিব্রিয়াম পয়েন্ট
স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দু একটি পছন্দসই ভৌত সিস্টেমের স্থির অবস্থা সনাক্ত করতে গণিতের দরকারী পদ। স্থির বিন্দু এবং ভারসাম্য বিন্দুর মধ্যে মূল পার্থক্য হল যে স্থির বিন্দু একটি সিস্টেমের স্থির-স্থিতি খুঁজে পেতে কার্যকর, যেখানে ভারসাম্য বিন্দু হল সেই অবস্থা যেখানে সিস্টেম ভেরিয়েবল পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে সিস্টেমটি পরিবর্তিত হয় না।
