সমান্তরাল চতুর্ভুজ বনাম চতুর্ভুজ
চতুর্ভুজ এবং সমান্তরালগ্রামগুলি ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে পাওয়া বহুভুজ। সমান্তরাল চতুর্ভুজের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। চতুর্ভুজগুলি হয় প্ল্যানার (2D) বা 3মাত্রিক হতে পারে যখন সমান্তরালগ্রামগুলি সর্বদা প্ল্যানার হয়৷
চতুর্ভুজ
চতুর্ভুজ হল একটি বহুভুজ যার চারটি বাহু রয়েছে। এটির চারটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে এবং অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 3600 (2π rad)। চতুর্ভুজগুলিকে স্ব-ছেদ করা এবং সরল চতুর্ভুজ বিভাগে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। স্ব-ছেদকারী চতুর্ভুজগুলির দুটি বা ততোধিক বাহু একে অপরকে অতিক্রম করে এবং ছোট জ্যামিতিক চিত্র (যেমন চতুর্ভুজের ভিতরে ত্রিভুজ গঠিত হয়)।
সরল চতুর্ভুজগুলিও উত্তল এবং অবতল চতুর্ভুজে বিভক্ত। অবতল চতুর্ভুজগুলির সংলগ্ন বাহু রয়েছে যা চিত্রের ভিতরে প্রতিবর্ত কোণ গঠন করে। যে সরল চতুর্ভুজগুলির অভ্যন্তরীণভাবে প্রতিসরণ কোণ নেই সেগুলি উত্তল চতুর্ভুজ। উত্তল চতুর্ভুজগুলির সর্বদা টেসেলেশন থাকতে পারে৷
প্রাথমিক স্তরে চতুর্ভুজের জ্যামিতির একটি প্রধান অংশ উত্তল চতুর্ভুজের সাথে সম্পর্কিত। কিছু চতুর্ভুজ প্রাথমিক বিদ্যালয়ের দিন থেকে আমাদের কাছে খুব পরিচিত। নিচের একটি ডায়াগ্রাম যা বিভিন্ন উত্তল চতুর্ভুজ দেখাচ্ছে।
সমান্তরালগ্রাম
প্যারালেলোগ্রামকে চারটি বাহু সহ জ্যামিতিক চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যার বিপরীত বাহু একে অপরের সমান্তরাল। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে এটি একটি চতুর্ভুজ যার দুটি জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে। এই সমান্তরাল প্রকৃতি সমান্তরালগ্রামকে অনেক জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য দেয়।
একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম যদি নিম্নলিখিত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি পাওয়া যায়৷
• দুই জোড়া বিপরীত পক্ষের দৈর্ঘ্য সমান। (AB=DC, AD=BC)
• দুই জোড়া বিপরীত কোণ আকারে সমান। ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• যদি সন্নিহিত কোণগুলি সম্পূরক হয় [ল্যাটেক্স]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• একটি জোড়া বাহু, যা একে অপরের বিপরীত, সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে সমান। (AB=DC এবং AB∥DC)
• কর্ণগুলো পরস্পরকে দ্বিখণ্ডিত করে (AO=OC, BO=OD)
• প্রতিটি তির্যক চতুর্ভুজকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
আরও, বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।এটিকে কখনও কখনও সমান্তরালগ্রাম আইন হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলে এর ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
উপরের প্রতিটি বৈশিষ্ট্য বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, একবার এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে চতুর্ভুজ একটি সমান্তরাল।
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল এক বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বিপরীত দিকের উচ্চতার গুণফল দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। অতএব, সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকেহিসাবে বলা যেতে পারে
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল=ভিত্তি × উচ্চতা=AB×h
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল পৃথক সমান্তরালগ্রামের আকৃতি থেকে স্বাধীন। এটি শুধুমাত্র ভিত্তির দৈর্ঘ্য এবং লম্ব উচ্চতার উপর নির্ভরশীল।
যদি একটি সমান্তরালগ্রামের বাহু দুটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়, তাহলে ক্ষেত্রফল দুটি সন্নিহিত ভেক্টরের ভেক্টর পণ্যের (ক্রস পণ্য) মাত্রা দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
যদি AB এবং AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে ভেক্টর ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) এবং ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল সমান্তরাল বৃত্তটি [latex]\left | দ্বারা দেওয়া হয় \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], যেখানে α হল [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] এবং [latex]\overrightarrow{AD}[/latex]।
নিম্নে সমান্তরালগ্রামের কিছু উন্নত বৈশিষ্ট্য রয়েছে;
• একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ যা এর যে কোনো কর্ণ দ্বারা তৈরি হয়।
• সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকে মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখা দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়।
• যেকোনও নন-ডিজেনারেট অ্যাফাইন ট্রান্সফরমেশন একটি প্যারালেলোগ্রামকে অন্য সমান্তরালগ্রামে নিয়ে যায়
• একটি সমান্তরাল বৃত্তের ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য ক্রম 2
• একটি সমান্তরালগ্রামের যেকোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে বাহু পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বতন্ত্র
সমান্তরালগ্রাম এবং চতুর্ভুজের মধ্যে পার্থক্য কী?
• চতুর্ভুজ হল চারটি বাহু বিশিষ্ট বহুভুজ (কখনও কখনও টেট্রাগন বলা হয়) যখন সমান্তরালগ্রাম হল একটি বিশেষ ধরনের চতুর্ভুজ৷
• চতুর্ভুজগুলি বিভিন্ন সমতলে (3d স্পেসে) তাদের বাহু থাকতে পারে যখন সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বাহু একই সমতলে থাকে (প্ল্যানার/ 2মাত্রিক)।
• চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি যে কোনও মান (প্রতিবর্ত কোণ সহ) নিতে পারে যেমন তারা 3600 পর্যন্ত যোগ করতে পারে৷ সমান্তরালগ্রামগুলিতে সর্বাধিক ধরণের কোণ হিসাবে কেবল স্থূলকোণ থাকতে পারে৷
• চতুর্ভুজের চারটি বাহু বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের হতে পারে যখন সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সর্বদা একে অপরের সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে সমান।
• যেকোনো তির্যক সমান্তরালগ্রামকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে, যখন একটি সাধারণ চতুর্ভুজের কর্ণ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজগুলি অগত্যা সর্বসম হয় না৷
