পাটিগণিত বনাম জ্যামিতিক সিরিজ
একটি সিরিজের গাণিতিক সংজ্ঞাটি ক্রমগুলির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। একটি ক্রম হল সংখ্যার একটি ক্রমযুক্ত সেট এবং এটি একটি সসীম বা একটি অসীম সেট হতে পারে। একটি ধ্রুবক হিসাবে দুটি উপাদানের মধ্যে পার্থক্য সহ সংখ্যার একটি ক্রম একটি গাণিতিক অগ্রগতি হিসাবে পরিচিত। দুটি ধারাবাহিক সংখ্যার একটি ধ্রুব ভাগফল সহ একটি ক্রম একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হিসাবে পরিচিত। এই অগ্রগতিগুলি হয় সসীম বা অসীম হতে পারে, এবং যদি সসীম হয় তবে পদগুলির সংখ্যা গণনাযোগ্য, অন্যথায় অগণিত।
সাধারণত, একটি অগ্রগতির উপাদানগুলির যোগফলকে একটি সিরিজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির যোগফল একটি পাটিগণিত সিরিজ হিসাবে পরিচিত। একইভাবে, একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল একটি জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে পরিচিত৷
আরিথমেটিক সিরিজ সম্পর্কে আরও
একটি পাটিগণিত সিরিজে, ধারাবাহিক পদগুলির একটি ধ্রুবক পার্থক্য রয়েছে৷
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; যেখানে a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, ইত্যাদি।
এই পার্থক্য d সাধারণ পার্থক্য হিসাবে পরিচিত, এবং nth শব্দটি an =a দ্বারা দেওয়া হয় 1+ (n-1)d; যেখানে a1 প্রথম পদ।
সাধারণ পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে সিরিজের আচরণ পরিবর্তন হয় d. সাধারণ পার্থক্য ইতিবাচক হলে অগ্রগতি ইতিবাচক অসীম হতে থাকে, এবং সাধারণ পার্থক্য ঋণাত্মক হলে এটি ঋণাত্মক অসীমের দিকে প্রবণ হয়।
এই সিরিজের যোগফল নিম্নলিখিত সহজ সূত্র দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা প্রথম ভারতীয় জ্যোতির্বিদ এবং গণিতবিদ আর্যভট্ট দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল।
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
সমষ্টি Sn হয় সসীম বা অসীম হতে পারে, পদ সংখ্যার উপর ভিত্তি করে।
জ্যামিতিক সিরিজ সম্পর্কে আরও
একটি জ্যামিতিক ক্রম হল একটি ক্রম যার ধারাবাহিক সংখ্যার ভাগফল থাকে ধ্রুবক। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সিরিজ যা সিরিজের অধ্যয়নে পাওয়া যায়, কারণ এটির বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n=∑i=1 ari
r অনুপাতের উপর ভিত্তি করে, সিরিজের আচরণকে নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। r={|r|≥1 সিরিজ ভিন্ন হয়; r≤1 সিরিজ কনভারজেস}। এছাড়াও, যদি r<0 সিরিজটি দোদুল্যমান হয়, অর্থাৎ সিরিজটির বিকল্প মান রয়েছে।
নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল গণনা করা যেতে পারে। Sn =a(1-r) / (1-r); যেখানে a হল প্রাথমিক পদ এবং r হল অনুপাত। অনুপাত r≤1 হলে, সিরিজটি একত্রিত হয়। একটি অসীম সিরিজের জন্য, কনভারজেন্সের মান Sn=a / (1-r) দ্বারা দেওয়া হয়।
জ্যামিতিক সিরিজের ভৌত বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং অর্থনীতির ক্ষেত্রে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে
পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক সিরিজের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি পাটিগণিত সিরিজ হল একটি সিরিজ যেখানে দুটি সন্নিহিত পদের মধ্যে ধ্রুবক পার্থক্য রয়েছে।
• একটি জ্যামিতিক সিরিজ হল এমন একটি ধারা যার ধারাবাহিক দুটি পদের মধ্যে একটি স্থির ভাগফল রয়েছে৷
• সমস্ত অসীম গাণিতিক ধারা সর্বদা ভিন্ন, কিন্তু অনুপাতের উপর নির্ভর করে, জ্যামিতিক সিরিজ হয় অভিসারী বা ভিন্ন হতে পারে৷
• জ্যামিতিক সিরিজের মানগুলির মধ্যে দোলন থাকতে পারে; অর্থাৎ, সংখ্যাগুলি তাদের চিহ্নগুলিকে বিকল্পভাবে পরিবর্তন করে, কিন্তু গাণিতিক সিরিজে দোলন থাকতে পারে না।
