পাটিগণিত ক্রম এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের মধ্যে পার্থক্য

2024 লেখক: Alex Aldridge | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-17 23:25

পাটিগণিত ক্রম বনাম জ্যামিতিক ক্রম

সংখ্যার প্যাটার্ন এবং তাদের আচরণের অধ্যয়ন গণিতের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যয়ন। প্রায়শই এই নিদর্শনগুলি প্রকৃতিতে দেখা যায় এবং বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণে তাদের আচরণ ব্যাখ্যা করতে আমাদের সাহায্য করে। পাটিগণিত ক্রম এবং জ্যামিতিক ক্রম দুটি মৌলিক প্যাটার্ন যা সংখ্যায় ঘটে এবং প্রায়শই প্রাকৃতিক ঘটনাতে পাওয়া যায়।

ক্রমটি হল ক্রমকৃত সংখ্যার একটি সেট। অনুক্রমের উপাদানের সংখ্যা হয় সসীম বা অসীম হতে পারে।

আরিথমেটিক সিকোয়েন্স (পাটিগণিতের অগ্রগতি) সম্পর্কে আরও

একটি গাণিতিক ক্রমকে সংখ্যার ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার প্রতিটি ধারাবাহিক পদের মধ্যে ধ্রুবক পার্থক্য থাকে। এটি গাণিতিক অগ্রগতি নামেও পরিচিত।

পাটিগণিত ক্রম ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; যেখানে a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, ইত্যাদি।}

যদি প্রারম্ভিক পদটি হয় a₁ এবং সাধারণ পার্থক্য d হয়, তাহলে অনুক্রমের n^{th পদটি দেওয়া হয়;}

a_n=a_{1 + (n-1)d}

উপরের ফলাফলটি আরও এগিয়ে নিয়ে, n^{th টার্মটিও দেওয়া যেতে পারে;}

a_n =a_m + (n-m)d, যেখানে a_{m একটি এলোমেলো শব্দ ক্রমানুসারে যেমন n > m.}

জোড় সংখ্যার সেট এবং বিজোড় সংখ্যার সেট হল গাণিতিক ক্রমগুলির সবচেয়ে সহজ উদাহরণ, যেখানে প্রতিটি অনুক্রমের একটি সাধারণ পার্থক্য (d) 2।

একটি ক্রমানুসারে পদের সংখ্যা অসীম বা সসীম হতে পারে।অসীম ক্ষেত্রে (n → ∞), ক্রমটি সাধারণ পার্থক্যের (a_{n → ±∞) উপর নির্ভর করে অসীমের দিকে ঝোঁক। যদি সাধারণ পার্থক্য ধনাত্মক হয় (d > 0), ক্রমটি ধনাত্মক অসীমতার দিকে ঝোঁক এবং, যদি সাধারণ পার্থক্য ঋণাত্মক হয় (d < 0), এটি ঋণাত্মক অসীমের দিকে ঝোঁক। পদগুলো সসীম হলে, ক্রমও সসীম।}

পাটিগণিতের অনুক্রমের পদগুলির যোগফল পাটিগণিত ধারা হিসাবে পরিচিত: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{এবং S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] এর মান দেয় সিরিজ (S}n)

জ্যামিতিক ক্রম (জ্যামিতিক অগ্রগতি) সম্পর্কে আরও

একটি জ্যামিতিক ক্রমকে এমন একটি ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে যেকোনো দুটি পরপর পদের ভাগফল একটি ধ্রুবক। এটি জ্যামিতিক অগ্রগতি নামেও পরিচিত।

জ্যামিতিক ক্রম ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; যেখানে a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, এবং আরও অনেক কিছু, যেখানে r একটি বাস্তব সংখ্যা৷}

সাধারণ অনুপাত (r) এবং প্রাথমিক পদ (a) ব্যবহার করে জ্যামিতিক ক্রম উপস্থাপন করা সহজ। তাই জ্যামিতিক ক্রম ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1 ^।

n^th পদের সাধারণ রূপ a_n =a₁r ^n-1. (প্রাথমিক মেয়াদের সাবস্ক্রিপ্ট হারানো ⇒ a_n =ar^n-1)

জ্যামিতিক ক্রম সসীম বা অসীমও হতে পারে। পদের সংখ্যা সসীম হলে, ক্রমটিকে সসীম বলা হয়। এবং যদি পদগুলি অসীম হয়, তাহলে অনুপাত r এর উপর নির্ভর করে ক্রমটি অসীম বা সসীম হতে পারে। সাধারণ অনুপাত জ্যামিতিক অনুক্রমের অনেক বৈশিষ্ট্যকে প্রভাবিত করে৷

r > o	0 < আর < +1	ক্রমটি একত্রিত হয় – সূচকীয় ক্ষয়, যেমন একটি n → 0, n → ∞
	r=1	ধ্রুবক ক্রম, যেমন an=ধ্রুবক
	r > 1	ক্রমটি ভিন্ন হয়ে যায় – সূচকীয় বৃদ্ধি, যেমন একটি n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < আর < 0	ক্রমটি দোদুল্যমান, কিন্তু একত্রিত হয়
	r=1	ক্রমটি পর্যায়ক্রমে এবং ধ্রুবক, যেমন an=±ধ্রুবক
	r < -1	ক্রমটি পর্যায়ক্রমে এবং ভিন্ন হয়৷ যেমন an → ±∞, n → ∞
r=0	ক্রমটি শূন্যের একটি স্ট্রিং

N. B: উপরের সমস্ত ক্ষেত্রে, a₁ > 0; যদি a₁ < 0, a_{n এর সাথে সম্পর্কিত চিহ্নগুলি উল্টানো হবে।}

একটি বলের বাউন্সের মধ্যে সময়ের ব্যবধান আদর্শ মডেলে একটি জ্যামিতিক ক্রম অনুসরণ করে এবং এটি একটি অভিসারী ক্রম।

জ্যামিতিক অনুক্রমের পদগুলির সমষ্টি একটি জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে পরিচিত; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ =∑_i=1→n ar^{i. জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); যেখানে a হল প্রাথমিক পদ এবং r হল অনুপাত৷}

অনুপাত, r ≤ 1 হলে, সিরিজটি একত্রিত হয়। একটি অসীম সিরিজের জন্য, কনভারজেন্সের মান S_{n=a/(1-r) দ্বারা দেওয়া হয়}

পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম/প্রগতির মধ্যে পার্থক্য কী?

• একটি গাণিতিক ক্রমানুসারে, যেকোনো দুটি পরপর পদের একটি সাধারণ পার্থক্য (d) থাকে যখন, জ্যামিতিক ক্রমানুসারে, যেকোনো দুটি পরপর পদের একটি ধ্রুব ভাগফল (r) থাকে।

• একটি গাণিতিক ক্রমানুসারে, পদগুলির বৈচিত্র্য রৈখিক, অর্থাৎ সমস্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকা যেতে পারে। একটি জ্যামিতিক সিরিজে, প্রকরণটি সূচকীয়; সাধারণ অনুপাতের উপর ভিত্তি করে হয় ক্রমবর্ধমান বা ক্ষয়প্রাপ্ত।

• সমস্ত অসীম গাণিতিক ক্রমগুলি ভিন্ন, যেখানে অসীম জ্যামিতিক ক্রমগুলি হয় ভিন্ন বা অভিসারী হতে পারে৷

• জ্যামিতিক সিরিজ দোলন দেখাতে পারে যদি r অনুপাত ঋণাত্মক হয় যখন পাটিগণিত সিরিজ দোলন প্রদর্শন না করে