রৈখিক বনাম অরৈখিক পার্থক্য সমীকরণ
একটি সমীকরণ যেখানে কমপক্ষে একটি ডিফারেনশিয়াল সহগ বা একটি অজানা চলকের ডেরিভেটিভ থাকে তাকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলে। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রৈখিক বা অরৈখিক হতে পারে। এই নিবন্ধের সুযোগ হল রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কী, ননলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কী এবং রৈখিক এবং অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী তা ব্যাখ্যা করা।
আঠারো শতকে নিউটন এবং লাইবনিটজের মতো গণিতবিদদের দ্বারা ক্যালকুলাসের বিকাশের পর থেকে, গণিতের গল্পে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে।তাদের প্রয়োগের পরিসরের কারণে গণিতে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। বৈষম্যমূলক সমীকরণগুলি আমরা বিশ্বের যে কোনও দৃশ্য বা ঘটনা ব্যাখ্যা করার জন্য তৈরি করি এমন প্রতিটি মডেলের কেন্দ্রবিন্দুতে থাকে তা পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, রসায়ন, পরিসংখ্যান, আর্থিক বিশ্লেষণ বা জীববিদ্যা (তালিকাটি অন্তহীন)। প্রকৃতপক্ষে, যতক্ষণ না ক্যালকুলাস একটি প্রতিষ্ঠিত তত্ত্ব হয়ে ওঠে, প্রকৃতির আকর্ষণীয় সমস্যাগুলি বিশ্লেষণ করার জন্য উপযুক্ত গাণিতিক সরঞ্জামগুলি অনুপলব্ধ ছিল৷
ক্যালকুলাসের একটি নির্দিষ্ট প্রয়োগের ফলাফলের সমীকরণগুলি খুব জটিল এবং কখনও কখনও সমাধানযোগ্য নাও হতে পারে। যাইহোক, এমন কিছু আছে যা আমরা সমাধান করতে পারি তবে দেখতে একই রকম এবং বিভ্রান্তিকর হতে পারে। অতএব, সহজ সনাক্তকরণের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি তাদের গাণিতিক আচরণ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। রৈখিক এবং অরৈখিক এই ধরনের একটি শ্রেণীকরণ। রৈখিক এবং অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য চিহ্নিত করা গুরুত্বপূর্ণ৷
একটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কী?
ধরুন যে f: X→Y এবং f(x)=y, অজানা ফাংশন y এবং এর ডেরিভেটিভের অরৈখিক পদ ছাড়া একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।
এটি শর্ত আরোপ করে যে y এর উচ্চতর সূচক পদ থাকতে পারে না যেমন y2, y3, … এবং বহুগুণ ডেরিভেটিভ যেমন হিসাবে
এতে অরৈখিক পদ যেমন Sin y, e y ^-2, বা ln y থাকতে পারে না। এটি রূপ নেয়,
যেখানে y এবং g হল x এর ফাংশন। সমীকরণটি অর্ডার n এর একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যা সর্বোচ্চ অর্ডার ডেরিভেটিভের সূচক।
একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে, ডিফারেনশিয়াল অপারেটর একটি রৈখিক অপারেটর এবং সমাধানগুলি একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে। সমাধান সেটের রৈখিক প্রকৃতির ফলে, সমাধানগুলির একটি রৈখিক সমন্বয়ও ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান। অর্থাৎ, যদি y1 এবং y2 ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হয়, তাহলে C1 y 1+ C2 y2 এছাড়াও একটি সমাধান।
সমীকরণের রৈখিকতা হল শ্রেণীবিভাগের একটি মাত্র প্যারামিটার, এবং এটিকে আরও সমজাতীয় বা অ-সমজাতীয় এবং সাধারণ বা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে।যদি ফাংশনটি হয় g=0 তাহলে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। যদি f দুটি বা ততোধিক স্বাধীন চলক (f: X, T→Y) এবং f(x, t)=y এর একটি ফাংশন হয়, তাহলে সমীকরণটি একটি রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরন এবং সহগের উপর নির্ভরশীল। সহগ ধ্রুবক হলে সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে দেখা দেয়। এই ক্ষেত্রে ক্লাসিক উদাহরণ হল নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র এবং এর বিভিন্ন প্রয়োগ। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র ধ্রুবক সহগ সহ একটি দ্বিতীয় ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি করে।
অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কী?
অরৈখিক পদ ধারণ করে এমন সমীকরণগুলি নন-লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।
উপরের সবগুলোই অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা কঠিন, তাই সঠিক সমাধান পেতে ঘনিষ্ঠ অধ্যয়ন প্রয়োজন। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে, বেশিরভাগ সমীকরণের কোনো সাধারণ সমাধান নেই। তাই প্রতিটি সমীকরণকে স্বাধীনভাবে বিবেচনা করতে হবে।
নভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ এবং তরল গতিবিদ্যায় অয়লারের সমীকরণ, আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রের সমীকরণগুলি সুপরিচিত অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। কখনও কখনও একটি পরিবর্তনশীল সিস্টেমে ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণ প্রয়োগের ফলে অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম হতে পারে।
লিনিয়ার এবং ননলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যেটিতে শুধুমাত্র অজানা বা নির্ভরশীল ভেরিয়েবল এবং এর ডেরিভেটিভের রৈখিক পদ রয়েছে, এটি একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। 1-এর বেশি সূচকের নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাথে এটির কোনো পদ নেই এবং এর কোনো একাধিক ডেরিভেটিভ থাকে না। নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে এটিতে অরৈখিক ফাংশন যেমন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সূচকীয় ফাংশন এবং লগারিদমিক ফাংশন থাকতে পারে না। যেকোন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যাতে উপরে উল্লিখিত পদগুলি থাকে একটি ননলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
• রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান ভেক্টর স্পেস তৈরি করে এবং ডিফারেনশিয়াল অপারেটরও ভেক্টর স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটর।
• লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান তুলনামূলকভাবে সহজ এবং সাধারণ সমাধান বিদ্যমান। অরৈখিক সমীকরণের জন্য, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, সাধারণ সমাধান বিদ্যমান নেই এবং সমাধানটি সমস্যা নির্দিষ্ট হতে পারে। এটি সমাধানটিকে রৈখিক সমীকরণের চেয়ে অনেক বেশি কঠিন করে তোলে।
