রৈখিক সমীকরণ বনাম অরৈখিক সমীকরণ
গণিতে, বীজগণিতীয় সমীকরণ হল সমীকরণ, যা বহুপদ ব্যবহার করে গঠিত হয়। যখন স্পষ্টভাবে লেখা হয় তখন সমীকরণগুলি P(x)=0 আকারে হবে, যেখানে x হল n অজানা চলকের একটি ভেক্টর এবং P হল একটি বহুপদী। উদাহরণস্বরূপ, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 স্পষ্টভাবে লেখা দুটি চলকের মধ্যে একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ।. এছাড়াও, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 একটি বীজগণিত সমীকরণ, কিন্তু অন্তর্নিহিত আকারে এবং এটি Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy রূপ নেবে 2 +3zy4=0, একবার স্পষ্টভাবে লেখা।
একটি বীজগণিত সমীকরণের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর ডিগ্রি। এটিকে সমীকরণে ঘটমান পদগুলির সর্বোচ্চ শক্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি একটি পদে দুই বা ততোধিক চলক থাকে, তাহলে প্রতিটি ভেরিয়েবলের সূচকের যোগফলকে পদটির ঘাত হিসেবে ধরা হবে। লক্ষ্য করুন যে এই সংজ্ঞা অনুসারে P(x, y)=0 ডিগ্রী 5 এর, যখন Q(x, y, z)=0 ডিগ্রী 5 এর।
রৈখিক সমীকরণ এবং অরৈখিক সমীকরণগুলি বীজগণিত সমীকরণের সেটে সংজ্ঞায়িত একটি দ্বি-বিভাগ। সমীকরণের ডিগ্রি হল ফ্যাক্টর যা তাদের একে অপরের থেকে আলাদা করে।
একটি রৈখিক সমীকরণ কী?
একটি রৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 1 এর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ। উদাহরণস্বরূপ, 4x + 5=0 হল একটি চলকের একটি রৈখিক সমীকরণ। x + y + 5z=0 এবং 4x=3w + 5y + 7z যথাক্রমে 3 এবং 4 চলকের রৈখিক সমীকরণ। সাধারণভাবে, n ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সমীকরণ m1x1 + m2x রূপ নেবে 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =খ.এখানে, xi এর অজানা ভেরিয়েবল, mi এবং b বাস্তব সংখ্যা যেখানে প্রতিটি mi অ-শূন্য৷
এই ধরনের একটি সমীকরণ এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডীয় স্থানের একটি হাইপার প্লেনকে প্রতিনিধিত্ব করে। বিশেষ করে, একটি দুটি পরিবর্তনশীল রৈখিক সমীকরণ কার্টেসিয়ান সমতলে একটি সরল রেখাকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং একটি তিনটি পরিবর্তনশীল রৈখিক সমীকরণ ইউক্লিডীয় 3-স্পেসে একটি সমতলকে প্রতিনিধিত্ব করে।
অরৈখিক সমীকরণ কী?
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ, যা রৈখিক নয়। অন্য কথায়, একটি অরৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 2 বা উচ্চতর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ। x2 + 3x + 2=0 একটি একক চলক অরৈখিক সমীকরণ। x2 + y3+ 3xy=4 এবং 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 যথাক্রমে 3 এবং 4 ভেরিয়েবলের অরৈখিক সমীকরণের উদাহরণ।
একটি দ্বিতীয় ডিগ্রি অরৈখিক সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। যদি ডিগ্রী 3 হয়, তবে একে ঘন সমীকরণ বলা হয়।ডিগ্রী 4 এবং ডিগ্রী 5 সমীকরণকে যথাক্রমে কোয়ার্টিক এবং কুইন্টিক সমীকরণ বলা হয়। এটা প্রমাণিত হয়েছে যে ডিগ্রী 5 এর কোন অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করার জন্য কোন বিশ্লেষণী পদ্ধতি নেই এবং এটি যেকোন উচ্চতর ডিগ্রির জন্যও সত্য। সমাধানযোগ্য অরৈখিক সমীকরণগুলি হাইপার পৃষ্ঠের প্রতিনিধিত্ব করে যেগুলি হাইপার প্লেন নয়৷
রৈখিক সমীকরণ এবং অরৈখিক সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি রৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 1 এর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ, কিন্তু একটি অরৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 2 বা উচ্চতর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ৷
• যদিও যেকোন রৈখিক সমীকরণ বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধানযোগ্য, তা অরৈখিক সমীকরণের ক্ষেত্রে নয়।
• n-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসে, একটি n-ভেরিয়েবল রৈখিক সমীকরণের সমাধান স্থান হল একটি হাইপার প্লেন, যখন একটি n-ভেরিয়েবল ননলিনিয়ার সমীকরণ হল একটি হাইপার সারফেস, যা হাইপার প্লেন নয়। (চতুর্ভুজ, ঘন পৃষ্ঠ এবং ইত্যাদি)
