রৈখিক সমীকরণ বনাম দ্বিঘাত সমীকরণ
গণিতে, বীজগণিতীয় সমীকরণগুলি এমন সমীকরণ যা বহুপদ ব্যবহার করে গঠিত হয়। যখন স্পষ্টভাবে লেখা হয় তখন সমীকরণগুলি P(x)=0 আকারে হবে, যেখানে x হল n অজানা চলকের একটি ভেক্টর এবং P হল একটি বহুপদী। উদাহরণস্বরূপ, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 হল দুটি ভেরিয়েবলের একটি বীজগণিত সমীকরণ যা স্পষ্টভাবে লেখা। এছাড়াও, (x+y)3=3x2y – 3zy4 একটি বীজগণিত সমীকরণ, কিন্তু অন্তর্নিহিত আকারে। এটি Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, একবার স্পষ্টভাবে লেখা।
একটি বীজগণিত সমীকরণের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর ডিগ্রি। এটিকে সমীকরণে ঘটমান পদগুলির সর্বোচ্চ শক্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি একটি পদে দুই বা ততোধিক চলক থাকে, তাহলে প্রতিটি ভেরিয়েবলের সূচকের যোগফলকে পদটির ঘাত হিসেবে ধরা হবে। লক্ষ্য করুন যে এই সংজ্ঞা অনুসারে P(x, y)=0 ডিগ্রী 4 এর এবং Q(x, y, z)=0 ডিগ্রী 5।
রৈখিক সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সমীকরণ দুটি ভিন্ন ধরনের বীজগণিত সমীকরণ। সমীকরণের ডিগ্রী হল ফ্যাক্টর যা তাদের বীজগাণিতিক সমীকরণের বাকি অংশ থেকে আলাদা করে।
একটি রৈখিক সমীকরণ কী?
একটি রৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 1 এর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ। উদাহরণস্বরূপ, 4x + 5=0 হল একটি চলকের একটি রৈখিক সমীকরণ। x + y + 5z=0 এবং 4x=3w + 5y + 7z যথাক্রমে 3 এবং 4 চলকের রৈখিক সমীকরণ। সাধারণভাবে, n ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সমীকরণ m1x1+m ইয়ার n-1+ mnxn =খ.এখানে, xi এর অজানা ভেরিয়েবল, mi এবং b বাস্তব সংখ্যা যেখানে প্রতিটি mi অ-শূন্য৷
এই ধরনের একটি সমীকরণ এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডীয় স্থানের একটি হাইপার প্লেনকে প্রতিনিধিত্ব করে। বিশেষ করে, একটি দুটি পরিবর্তনশীল রৈখিক সমীকরণ কার্টেসিয়ান সমতলে একটি সরল রেখাকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং একটি তিনটি পরিবর্তনশীল রৈখিক সমীকরণ ইউক্লিডীয় 3-স্পেসে একটি সমতলকে প্রতিনিধিত্ব করে।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কী?
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বীজগণিত সমীকরণ। x2 + 3x + 2=0 একটি একক চলক দ্বিঘাত সমীকরণ। x2 + y2 + 3x=4 এবং 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 হল যথাক্রমে 2 এবং 3 চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ।
একক পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ হল ax2 + bx + c=0। যেখানে a, b, c হল বাস্তব সংখ্যা যার মধ্যে 'a' অ-শূন্য। বৈষম্যকারী ∆=(b2 – 4ac) দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করে।∆ ধনাত্মক, শূন্য এবং ঋণাত্মক হিসাবে সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব স্বতন্ত্র, বাস্তব অনুরূপ এবং জটিল হবে। x=(- b ± √∆) / 2a. সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের শিকড় সহজেই পাওয়া যাবে।
দুটি পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে, সাধারণ ফর্মটি হবে ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, এবং এটি কার্টেসিয়ান সমতলে একটি কনিক (প্যারাবোলা, হাইপারবোলা বা উপবৃত্ত) প্রতিনিধিত্ব করে। উচ্চ মাত্রায়, এই ধরনের সমীকরণগুলি হাইপার-সারফেসগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে যা কোয়াড্রিক নামে পরিচিত।
রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি রৈখিক সমীকরণ হল ডিগ্রী 1 এর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ, যেখানে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ডিগ্রী 2 এর একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ।
• এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে, একটি এন-ভেরিয়েবল রৈখিক সমীকরণের সমাধান স্থান একটি হাইপার প্লেন যেখানে একটি এন-পরিবর্তনশীল দ্বিঘাত সমীকরণ একটি চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ।
