হাইপারবোলা বনাম উপবৃত্ত
যখন একটি শঙ্কু বিভিন্ন কোণে কাটা হয়, তখন শঙ্কুর প্রান্ত দ্বারা বিভিন্ন বক্ররেখা চিহ্নিত করা হয়। এই বক্ররেখাগুলিকে প্রায়শই কনিক বিভাগ বলা হয়। আরও স্পষ্টভাবে, একটি কনিক বিভাগ হল একটি বক্ররেখা যা একটি সমতল পৃষ্ঠের সাথে একটি ডান বৃত্তাকার কনিক পৃষ্ঠকে ছেদ করে। ছেদগুলির বিভিন্ন কোণে, বিভিন্ন কনিক বিভাগ দেওয়া হয়৷
অধিবৃত্ত এবং উপবৃত্ত উভয়ই কনিক বিভাগ, এবং এই প্রসঙ্গে তাদের পার্থক্যগুলি সহজেই তুলনা করা যায়।
Elipse সম্বন্ধে আরও কিছু
যখন কনিক পৃষ্ঠ এবং সমতল পৃষ্ঠের ছেদ একটি বন্ধ বক্ররেখা তৈরি করে, তখন এটি একটি উপবৃত্তাকার হিসাবে পরিচিত। এটির শূন্য এবং এক (0<e<1) এর মধ্যে একটি বিকেন্দ্রতা রয়েছে। এটিকে একটি সমতলে বিন্দুগুলির সেটের অবস্থান হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যাতে দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বিন্দুতে দূরত্বের যোগফল স্থির থাকে। এই দুটি স্থির বিন্দু 'ফোসি' নামে পরিচিত। (মনে রাখবেন; প্রাথমিক গণিত ক্লাসে উপবৃত্তগুলি দুটি নির্দিষ্ট পিনের সাথে বাঁধা একটি স্ট্রিং বা একটি স্ট্রিং লুপ এবং দুটি পিন ব্যবহার করে আঁকা হয়।)
ফোকির মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার অংশটি প্রধান অক্ষ হিসাবে পরিচিত, এবং অক্ষটি প্রধান অক্ষের লম্ব এবং উপবৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষটি ছোট অক্ষ হিসাবে পরিচিত।প্রতিটি অক্ষ বরাবর ব্যাস যথাক্রমে ট্রান্সভার্স ব্যাস এবং কনজুগেট ব্যাস হিসাবে পরিচিত। প্রধান অক্ষের অর্ধেকটি আধা-প্রধান অক্ষ হিসাবে পরিচিত এবং অর্ধেক ছোট অক্ষ অর্ধ-অপ্রধান অক্ষ হিসাবে পরিচিত।
প্রতিটি বিন্দু F1 এবং F2 উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু হিসেবে পরিচিত এবং দৈর্ঘ্য F1 + PF2 =2a, যেখানে P হল উপবৃত্তের একটি নির্বিচারী বিন্দু। অভিকেন্দ্রিকতা eকে একটি ফোকাস থেকে নির্বিচারে বিন্দুর দূরত্ব (PF 2) এবং directrix (PD) থেকে নির্বিচারী বিন্দুতে লম্ব দূরত্বের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি দুটি ফোসি এবং আধা-প্রধান অক্ষের মধ্যে দূরত্বের সমান: e=PF/PD=f/a
অর্ধবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ, যখন আধা-প্রধান অক্ষ এবং অর্ধ-গৌণ অক্ষ কার্টেসিয়ান অক্ষের সাথে মিলে যায়, নিম্নরূপ দেওয়া হয়।
x2/a2 + y2/b2=1
অধিবৃত্তের জ্যামিতির অনেক প্রয়োগ আছে, বিশেষ করে পদার্থবিদ্যায়।সৌরজগতের গ্রহগুলির কক্ষপথ উপবৃত্তাকার এবং সূর্যকে একটি ফোকাস হিসাবে দেখায়। অ্যান্টেনা এবং অ্যাকোস্টিক ডিভাইসগুলির জন্য প্রতিফলকগুলি উপবৃত্তাকার আকারে তৈরি করা হয় এই সুবিধাটি নেওয়ার জন্য যে কোনও নির্গমন ফর্মের ফোকাস অন্য ফোকাসে একত্রিত হবে৷
হাইপারবোলা সম্পর্কে আরও
অধিবৃত্তটিও একটি কনিক বিভাগ, তবে এটি খোলা শেষ। হাইপারবোলা শব্দটি চিত্রে দেখানো দুটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন বক্ররেখাকে বোঝানো হয়েছে। একটি উপবৃত্তের মতো বন্ধ হওয়ার পরিবর্তে বাহু বা হাইপারবোলার শাখাগুলি অনন্তে অবিরত থাকে।
যে বিন্দু দুটি শাখার মধ্যে তাদের মধ্যে সবচেয়ে কম দূরত্ব রয়েছে সেগুলোকে শীর্ষবিন্দু বলে। শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটিকে প্রধান অক্ষ বা অনুপ্রস্থ অক্ষ হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং এটি হাইপারবোলার প্রধান অক্ষগুলির মধ্যে একটি।প্যারাবোলার দুটি কেন্দ্রও প্রধান অক্ষের উপর অবস্থিত। দুটি শীর্ষবিন্দুর মধ্যবর্তী রেখার মধ্যবিন্দু হল কেন্দ্র এবং রেখার অংশের দৈর্ঘ্য হল আধা-প্রধান অক্ষ। আধা-প্রধান অক্ষের লম্ব দ্বিখণ্ডক হল অন্য প্রধান অক্ষ, এবং হাইপারবোলার দুটি বক্ররেখা এই অক্ষের চারপাশে প্রতিসম। প্যারাবোলার উন্মাদনা একের বেশি; e > 1.
যদি প্রধান অক্ষগুলি কার্টেসিয়ান অক্ষের সাথে মিলিত হয়, তাহলে অতিভুজের সাধারণ সমীকরণটি আকারে হয়:
x2/a2 – y2/b2=1,
যেখানে a হল আধা-প্রধান অক্ষ এবং b হল কেন্দ্র থেকে ফোকাসের দূরত্ব।
এক্স-অক্ষের দিকে মুখ করে খোলা প্রান্ত সহ হাইপারবোলাগুলি পূর্ব-পশ্চিম হাইপারবোলাস নামে পরিচিত। অনুরূপ হাইপারবোলাগুলি y অক্ষেও পাওয়া যেতে পারে। এগুলি y-অক্ষ হাইপারবোলাস নামে পরিচিত। এই ধরনের হাইপারবোলার সমীকরণটি রূপ নেয়
y2/a2 – x2/b2=1
হাইপারবোলা এবং এলিপসের মধ্যে পার্থক্য কী?
• উপবৃত্ত এবং হাইপারবোলা উভয়ই কনিক বিভাগ, কিন্তু উপবৃত্ত একটি বদ্ধ বক্ররেখা যেখানে হাইপারবোলা দুটি খোলা বক্ররেখা নিয়ে গঠিত।
• অতএব, উপবৃত্তের সীমাবদ্ধ পরিধি আছে, কিন্তু অধিবৃত্তের দৈর্ঘ্য অসীম।
• উভয়ই তাদের প্রধান এবং ছোট অক্ষের চারপাশে প্রতিসম, কিন্তু প্রতিটি ক্ষেত্রেই ডাইরেক্ট্রিক্সের অবস্থান আলাদা। উপবৃত্তে, এটি আধা-প্রধান অক্ষের বাইরে পড়ে থাকে যখন, হাইপারবোলায়, এটি অর্ধ-প্রধান অক্ষের মধ্যে থাকে।
• দুটি শঙ্কু অংশের উদ্বেগ আলাদা।
0 <eEllipse < 1
eহাইপারবোলা > 0
• দুটি বক্ররেখার সাধারণ সমীকরণ দেখতে একই, কিন্তু তারা ভিন্ন৷
• প্রধান-অক্ষের লম্ব দ্বিখণ্ডকটি উপবৃত্তে বক্ররেখাকে ছেদ করে, কিন্তু অধিবৃত্তে নয়।
(ছবির উৎস: উইকিপিডিয়া)
