সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন বনাম সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন
সম্ভাব্যতা হল একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা। এই ধারণাটি খুবই সাধারণ, এবং দৈনন্দিন জীবনে প্রায়শই ব্যবহৃত হয় যখন আমরা আমাদের সুযোগ, লেনদেন এবং অন্যান্য অনেক কিছু মূল্যায়ন করি। ইভেন্টের একটি বৃহত্তর সেটে এই সাধারণ ধারণাটি প্রসারিত করা একটু বেশি চ্যালেঞ্জিং। উদাহরণস্বরূপ, আমরা লটারি জেতার সম্ভাবনা সহজে বের করতে পারি না, তবে এটা বলা সুবিধাজনক, বরং স্বজ্ঞাত, বলা যায় যে ছয়টির মধ্যে একজনের সম্ভাবনা আছে যে আমরা একটি পাশায় ছয় নম্বর পাব।
যখন ঘটতে পারে এমন ইভেন্টের সংখ্যা বৃহত্তর হয়ে উঠছে, বা স্বতন্ত্র সম্ভাবনার সংখ্যা বড় হচ্ছে, তখন সম্ভাবনার এই সাধারণ ধারণা ব্যর্থ হয়। অতএব, উচ্চতর জটিলতার সাথে সমস্যার কাছে যাওয়ার আগে এটিকে একটি কঠিন গাণিতিক সংজ্ঞা দিতে হবে।
যখন একটি একক পরিস্থিতিতে ঘটতে পারে এমন ইভেন্টের সংখ্যা বেশি, প্রতিটি ঘটনাকে আলাদাভাবে বিবেচনা করা অসম্ভব যেমন পাশা নিক্ষেপের উদাহরণে। তাই, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধারণাটি প্রবর্তন করে ঘটনার পুরো সেটটিকে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে। এটি একটি পরিবর্তনশীল, যা সেই নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে (বা নমুনা স্থান) বিভিন্ন ইভেন্টের মান ধরে নিতে পারে। এটি পরিস্থিতির সাধারণ ঘটনাগুলির একটি গাণিতিক বোধ দেয় এবং ঘটনাটি সম্বোধন করার গাণিতিক উপায় দেয়। আরও স্পষ্টভাবে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল নমুনা স্থানের উপাদানগুলির উপর একটি বাস্তব মান ফাংশন। এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি হয় পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন হতে পারে। এগুলি সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন (বা সহজভাবে, সম্ভাব্যতা বন্টন) একটি ফাংশন যা প্রতিটি ইভেন্টের জন্য সম্ভাব্যতার মান নির্ধারণ করে; অর্থাত্ এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে মানগুলি গ্রহণ করতে পারে তার সম্ভাব্যতার সাথে একটি সম্পর্ক সরবরাহ করে।বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়।
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনের সমতুল্য, একটি নির্দিষ্ট মান ধরে নেওয়ার জন্য একটি নির্দিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা দেয়৷
যদি X একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক হয়, X-এর সীমার মধ্যে প্রতিটি x এর জন্য f (x)=P (X=x) হিসাবে দেওয়া ফাংশনটিকে সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন বলা হয়। একটি ফাংশন সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন হিসাবে কাজ করতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফাংশনটি নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
একটি ফাংশন f (x) যা বাস্তব সংখ্যার সেটের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় তাকে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন বলা হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx যেকোনো বাস্তব ধ্রুবক a এবং b এর জন্য।
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন নিম্নলিখিত শর্তগুলিও পূরণ করতে হবে৷
1. f (x) ≥ 0 সব x এর জন্য: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
নমুনা স্থানের উপর সম্ভাব্যতার বন্টন উপস্থাপন করতে সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন উভয়ই ব্যবহৃত হয়। সাধারণত, এগুলোকে বলা হয় সম্ভাব্যতা বণ্টন।
পরিসংখ্যানগত মডেলিংয়ের জন্য, স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন উদ্ভূত হয়। স্বাভাবিক বন্টন এবং স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বন্টন হল ক্রমাগত সম্ভাব্যতা বন্টনের উদাহরণ। দ্বিপদ বণ্টন এবং পয়সন বণ্টন হল বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বণ্টনের উদাহরণ৷
সম্ভাব্যতা বন্টন এবং সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য কী?
• সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হল নমুনা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত ফাংশন, প্রতিটি উপাদানের প্রাসঙ্গিক সম্ভাব্যতার মান নির্ধারণ করতে।
• সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনগুলি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনগুলি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়৷
• সম্ভাব্যতার মানের বন্টন (অর্থাৎ সম্ভাব্যতা বন্টন) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন দ্বারা সবচেয়ে ভালোভাবে চিত্রিত হয়।
• সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনটি একটি টেবিলে মান হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তবে এটি সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনের জন্য সম্ভব নয় কারণ ভেরিয়েবলটি অবিচ্ছিন্ন।
• প্লট করা হলে, সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন একটি বার প্লট দেয় যখন সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন একটি বক্ররেখা দেয়।
• সম্ভাব্যতা বণ্টন ফাংশনের দণ্ডের উচ্চতা/দৈর্ঘ্য অবশ্যই 1 যোগ করতে হবে যখন সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনের বক্ররেখার অধীনে ক্ষেত্রফল অবশ্যই 1 যোগ করতে হবে।
• উভয় ক্ষেত্রেই, ফাংশনের সমস্ত মান অবশ্যই নেতিবাচক হতে হবে।
