বিচ্ছিন্ন ফাংশন বনাম ক্রমাগত ফাংশন
ফাংশনগুলি হল গাণিতিক বস্তুর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণীগুলির মধ্যে একটি, যা গণিতের প্রায় সমস্ত উপক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। তাদের নাম অনুসারে বিযুক্ত ফাংশন এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশন উভয়ই দুটি বিশেষ ধরণের ফাংশন।
একটি ফাংশন হল দুটি সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে প্রথম সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য, দ্বিতীয় সেটে এটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ মানটি অনন্য। ধরুন f সেট A থেকে B সেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন। তারপর প্রতিটি x ϵ A-এর জন্য, f (x) চিহ্নটি B সেটের অনন্য মানকে বোঝায় যা x এর সাথে মিলে যায়।একে f এর নিচে x এর চিত্র বলা হয়। অতএব, A থেকে B এর মধ্যে একটি সম্পর্ক f একটি ফাংশন, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর জন্য, প্রতিটি xϵ A এবং y ϵ A; যদি x=y তাহলে f (x)=f (y)। A সেটটিকে f ফাংশনের ডোমেইন বলা হয় এবং এটি সেই সেট যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি xϵ A-এর জন্য f (x)=x + 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত R থেকে R-এর মধ্যে f-এর সম্পর্ক বিবেচনা করুন। এটি একটি ফাংশন যার ডোমেন হল R, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা x এবং y, x=y বোঝায় f (x)=x + 2=y + 2=f (y)। কিন্তু G (x)=a দ্বারা সংজ্ঞায়িত N থেকে N-এর মধ্যে সম্পর্ক, যেখানে 'a' x-এর একটি মৌলিক গুণনীয়ক g (6)=3, সেইসাথে g (6)=2 হিসাবে একটি ফাংশন নয়।
একটি পৃথক ফাংশন কি?
একটি পৃথক ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার ডোমেন সর্বাধিক গণনাযোগ্য। সহজভাবে, এর অর্থ হল একটি তালিকা তৈরি করা সম্ভব যাতে ডোমেনের সমস্ত উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে।
যেকোন সসীম সেট সর্বাধিক গণনাযোগ্য। প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট এবং মূলদ সংখ্যার সেট সর্বাধিক গণনাযোগ্য অসীম সেটের উদাহরণ।বাস্তব সংখ্যার সেট এবং অমূলদ সংখ্যার সেট সর্বাধিক গণনাযোগ্য নয়। দুটি সেটই অগণিত। এর মানে হল যে এই সেটগুলির সমস্ত উপাদান অন্তর্ভুক্ত করে এমন একটি তালিকা তৈরি করা অসম্ভব৷
সবচেয়ে সাধারণ বিযুক্ত ফাংশনগুলির মধ্যে একটি হল ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশন। f:N U{0}→N প্রতিটি n ≥ 1 এবং f (0)=1 এর জন্য f (n)=n f (n-1) দ্বারা পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তাকে ফ্যাক্টোরিয়াল ফাংশন বলে। লক্ষ্য করুন যে এর ডোমেন N U{0} সর্বাধিক গণনাযোগ্য৷
একটি একটানা ফাংশন কি?
ফকে একটি ফাংশন হিসাবে ধরুন যাতে f, f (x)→ f (k) এর ডোমেনে প্রতিটি k এর জন্য x → k। তারপর f একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। এর মানে হল f এর ডোমেনে প্রতিটি k-এর জন্য x কে পর্যাপ্তভাবে k-এর কাছাকাছি করে f (x) নির্বিচারে f (k) এর কাছাকাছি করা সম্ভব।
R-এর f (x)=x + 2 ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এটি x → k, x + 2 → k + 2 যেটি f (x)→ f (k) হিসাবে দেখা যায়। অতএব, f একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। এখন, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার উপর g বিবেচনা করুন g (x)=1 যদি x > 0 এবং g (x)=0 যদি x=0 হয়।তারপর, এই ফাংশনটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন নয় কারণ g (x) এর সীমা বিদ্যমান নেই (এবং তাই এটি g (0) এর সমান নয়) x → 0.
বিযুক্ত এবং ক্রমাগত ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য কী?
• একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার ডোমেন সর্বাধিক গণনাযোগ্য তবে এটি ক্রমাগত ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োজন হয় না।
• সমস্ত ক্রমাগত ফাংশন ƒ এর বৈশিষ্ট্য থাকে যেটি ƒ(x)→ƒ(k) x → k হিসাবে প্রতিটি x এবং ƒ এর ডোমেনে প্রতিটি k এর জন্য, তবে কিছু বিচ্ছিন্ন ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি হয় না.
