অ্যাসোসিয়েটিভ বনাম কমিউটেটিভ
আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, যখনই আমাদের কিছু পরিমাপ করার প্রয়োজন হয় তখনই আমাদের সংখ্যা ব্যবহার করতে হয়। মুদি দোকানে, গ্যাস স্টেশনে, এমনকি রান্নাঘরেও আমাদের দুই বা ততোধিক পরিমাণ যোগ, বিয়োগ এবং গুণ করতে হবে। আমাদের অনুশীলন থেকে, আমরা এই গণনাগুলি বেশ অনায়াসে সম্পাদন করি। আমরা কখনই লক্ষ্য করি না বা প্রশ্ন করি না কেন আমরা এই বিশেষ উপায়ে এই অপারেশনগুলি করি। বা কেন এই গণনাগুলি অন্যভাবে করা যায় না। বীজগণিতের গাণিতিক ক্ষেত্রে এই ক্রিয়াকলাপগুলিকে যেভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তাতে উত্তরটি লুকিয়ে আছে৷
বীজগণিতে, দুটি পরিমাণ (যেমন যোগ) যুক্ত একটি অপারেশনকে বাইনারি অপারেশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে এটি একটি সেট থেকে দুটি উপাদানের মধ্যে একটি অপারেশন এবং এই উপাদানগুলিকে বলা হয় 'অপারেন্ড'। গণিতের অনেক ক্রিয়াকলাপ যেমন পূর্বে উল্লিখিত পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ এবং সেট তত্ত্ব, রৈখিক বীজগণিত এবং গাণিতিক যুক্তিতে সম্মুখীন হওয়াগুলিকে বাইনারি অপারেশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।
একটি নির্দিষ্ট বাইনারি ক্রিয়াকলাপের সাথে সম্পর্কিত নিয়মের একটি সেট রয়েছে৷ অ্যাসোসিয়েটিভ এবং কম্যুটেটিভ বৈশিষ্ট্য হল বাইনারি ক্রিয়াকলাপের দুটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য৷
পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি সম্পর্কে আরও
ধরুন কিছু বাইনারি অপারেশন, ⊗ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত, A এবং B উপাদানগুলিতে সঞ্চালিত হয়। যদি অপারেন্ডের ক্রম অপারেশনের ফলাফলকে প্রভাবিত না করে, তাহলে অপারেশনটিকে কম্যুটেটিভ বলা হয়। অর্থাৎ যদি A ⊗ B=B ⊗ A হয় তাহলে অপারেশনটি পরিবর্তনশীল।
পাটিগণিতের ক্রিয়াকলাপ যোগ এবং গুণ পরিবর্তনশীল। সংখ্যার ক্রম একসাথে যোগ করা বা একসাথে গুণ করা চূড়ান্ত উত্তরকে প্রভাবিত করে না:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
কিন্তু বিভাজনের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তন করলে অপরটির পারস্পরিক হয় এবং বিয়োগের ক্ষেত্রে পরিবর্তনটি অপরটির ঋণাত্মক দেয়। অতএব, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 এবং 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 এবং 5 ÷ 4=1.25 [এই ক্ষেত্রে A, B ≠ 1 এবং 0
আসলে, বিয়োগকে কমিউটিভ-বিরোধী বলা হয়; যেখানে A – B=– (B – A)।
এছাড়াও, যৌক্তিক সংযোগ, সংযোগ, বিচ্ছিন্নতা, অন্তর্নিহিততা এবং সমতুল্যও কম্যুটেটিভ। সত্য ফাংশন এছাড়াও পরিবর্তনশীল. সেট অপারেশন ইউনিয়ন এবং ছেদ পরিবর্তনশীল. ভেক্টরের যোগ এবং স্কেলার গুণফলও পরিবর্তনশীল।
কিন্তু ভেক্টর বিয়োগ এবং ভেক্টর গুণফল কম্যুটেটিভ নয় (দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল এন্টি-কমিউটেটিভ)। ম্যাট্রিক্স যোগ কম্যুটেটিভ, কিন্তু গুন এবং বিয়োগ কম্যুটেটিভ নয়।(দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণন বিশেষ ক্ষেত্রে কম্যুটেটিভ হতে পারে, যেমন একটি ম্যাট্রিক্সকে এর বিপরীত বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সাথে গুণ করা; কিন্তু ম্যাট্রিক্স একই আকারের না হলে অবশ্যই ম্যাট্রিক্স কম্যুটেটিভ হয় না)
অ্যাসোসিয়েটিভ প্রপার্টি সম্পর্কে আরো
একটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপকে সহযোগী বলা হয় যদি কার্য সম্পাদনের আদেশ ফলাফলকে প্রভাবিত না করে যখন অপারেটরের দুটি বা ততোধিক ঘটনা উপস্থিত থাকে। A, B এবং C উপাদান এবং বাইনারি অপারেশন ⊗ বিবেচনা করুন। অপারেশন ⊗কে সহযোগী বলা হয় যদি
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
মৌলিক গাণিতিক ফাংশন থেকে, শুধুমাত্র যোগ এবং গুণই সহযোগী।
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
বিয়োগ এবং ভাগ সহযোগী নয়;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 এবং (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 এবং (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
যৌক্তিক সংযোগ বিচ্ছিন্নতা, সংযোগ, এবং সমতুল্য হল সহযোগী, পাশাপাশি সেট অপারেশন ইউনিয়ন এবং ছেদ। ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর সংযোজন সহযোগী। ভেক্টরের স্কেলার গুণফল সহযোগী, কিন্তু ভেক্টর গুণফল নয়। ম্যাট্রিক্স গুণন শুধুমাত্র বিশেষ পরিস্থিতিতে সহযোগী।
কমিউটেটিভ এবং অ্যাসোসিয়েটিভ প্রপার্টির মধ্যে পার্থক্য কী?
• অ্যাসোসিয়েটিভ প্রপার্টি এবং কম্যুটেটিভ প্রপার্টি উভয়ই বাইনারি ক্রিয়াকলাপের বিশেষ বৈশিষ্ট্য, এবং কিছু তাদের সন্তুষ্ট করে এবং কিছু করে না৷
• এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ এবং গণিতের অন্যান্য বাইনারি ক্রিয়াকলাপের মধ্যে দেখা যায়, যেমন সেট তত্ত্বে ছেদ এবং মিলন বা লজিক্যাল সংযোগ।
• কমিউটেটিভ এবং অ্যাসোসিয়েটিভের মধ্যে পার্থক্য হল যে কম্যুটেটিভ প্রোপার্টি বলে যে উপাদানগুলির ক্রম চূড়ান্ত ফলাফলকে পরিবর্তন করে না যখন অ্যাসোসিয়েটিভ প্রপার্টি বলে, যে ক্রমটিতে অপারেশনটি করা হয় তা চূড়ান্ত উত্তরকে প্রভাবিত করে না.
