সমান্তরালগ্রাম বনাম ট্র্যাপিজয়েড
প্যারালেলোগ্রাম এবং ট্র্যাপিজয়েড (বা ট্র্যাপিজিয়াম) দুটি উত্তল চতুর্ভুজ। যদিও এগুলো চতুর্ভুজ, তবুও ট্র্যাপিজয়েডের জ্যামিতি সমান্তরালগ্রাম থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।
সমান্তরালগ্রাম
প্যারালেলোগ্রামকে চারটি বাহু সহ জ্যামিতিক চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যার বিপরীত বাহু একে অপরের সমান্তরাল। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে এটি একটি চতুর্ভুজ যার দুটি জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে। এই সমান্তরাল প্রকৃতি সমান্তরালগ্রামকে অনেক জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য দেয়।
একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম যদি নিম্নলিখিত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি পাওয়া যায়৷
• দুই জোড়া বিপরীত পক্ষের দৈর্ঘ্য সমান। (AB=DC, AD=BC)
• দুই জোড়া বিপরীত কোণ আকারে সমান। ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• যদি সন্নিহিত কোণগুলি সম্পূরক হয় [ল্যাটেক্স]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• একটি জোড়া বাহু, যা একে অপরের বিপরীত, সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে সমান। (AB=DC এবং AB∥DC)
• কর্ণগুলো পরস্পরকে দ্বিখণ্ডিত করে (AO=OC, BO=OD)
• প্রতিটি তির্যক চতুর্ভুজকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
আরও, বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। এটিকে কখনও কখনও সমান্তরালগ্রাম আইন হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলে এর ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
উপরের প্রতিটি বৈশিষ্ট্য বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, একবার এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে চতুর্ভুজ একটি সমান্তরাল।
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল এক বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বিপরীত দিকের উচ্চতার গুণফল দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। অতএব, সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকেহিসাবে বলা যেতে পারে
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল=ভিত্তি × উচ্চতা=AB×h
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল পৃথক সমান্তরালগ্রামের আকৃতি থেকে স্বাধীন। এটি শুধুমাত্র ভিত্তির দৈর্ঘ্য এবং লম্ব উচ্চতার উপর নির্ভরশীল।
যদি একটি সমান্তরালগ্রামের বাহু দুটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়, তাহলে ক্ষেত্রফল দুটি সন্নিহিত ভেক্টরের ভেক্টর পণ্যের (ক্রস পণ্য) মাত্রা দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
যদি AB এবং AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে ভেক্টর ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) এবং ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল সমান্তরাল বৃত্তটি [latex]\left | দ্বারা দেওয়া হয় \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], যেখানে α হল [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] এবং [latex]\overrightarrow{AD}[/latex]।
নিম্নে সমান্তরালগ্রামের কিছু উন্নত বৈশিষ্ট্য রয়েছে;
• একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ যা এর যে কোনো কর্ণ দ্বারা তৈরি হয়।
• সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকে মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখা দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়।
• যেকোনও নন-ডিজেনারেট অ্যাফাইন ট্রান্সফরমেশন একটি প্যারালেলোগ্রামকে অন্য সমান্তরালগ্রামে নিয়ে যায়
• একটি সমান্তরাল বৃত্তের ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য ক্রম 2
• একটি সমান্তরালগ্রামের যেকোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে বাহু পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বতন্ত্র
Trapezoid
Trapezoid (বা ব্রিটিশ ইংরেজিতে Trapezium) হল একটি উত্তল চতুর্ভুজ যেখানে কমপক্ষে দুটি বাহু সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে অসম। ট্র্যাপিজয়েডের সমান্তরাল বাহুগুলিকে বেস বলা হয় এবং বাকি দুটি বাহুকে পা বলা হয়।
নিম্নলিখিত ট্র্যাপিজয়েডের প্রধান বৈশিষ্ট্য;
• যদি সন্নিহিত কোণগুলি ট্র্যাপিজয়েডের একই ভিত্তির উপর না থাকে তবে তারা সম্পূরক কোণ। অর্থাৎ তারা 180° পর্যন্ত যোগ করে ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• একটি ট্র্যাপিজিয়ামের উভয় কর্ণ একই অনুপাতে ছেদ করে (কর্ণগুলির বিভাগের মধ্যে অনুপাত সমান)।
• a এবং b বেস এবং c, d যদি পা হয়, তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য দ্বারা দেওয়া হয়
[লেটেক্স]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
এবং
[লেটেক্স]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যেতে পারে
ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল=[ল্যাটেক্স]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
সমান্তরালগ্রাম এবং ট্র্যাপিজয়েড (ট্র্যাপিজিয়াম) এর মধ্যে পার্থক্য কী?
• সমান্তরালগ্রাম এবং ট্র্যাপিজয়েড উভয়ই উত্তল চতুর্ভুজ।
• একটি সমান্তরাল বৃত্তে, বিপরীত বাহুর উভয় জোড়া সমান্তরাল থাকে যখন, একটি ট্র্যাপিজয়েডে, শুধুমাত্র একটি জোড়া সমান্তরাল হয়৷
• সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি একে অপরকে দ্বিখণ্ডিত করে (1:1 অনুপাত) যখন ট্র্যাপিজয়েডের কর্ণগুলি বিভাগগুলির মধ্যে একটি ধ্রুবক অনুপাতের সাথে ছেদ করে৷
• সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল উচ্চতা এবং ভিত্তির উপর নির্ভর করে যখন ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল উচ্চতা এবং মধ্য-খণ্ডের উপর নির্ভর করে।
• একটি সমান্তরালগ্রামে একটি তির্যক দ্বারা গঠিত দুটি ত্রিভুজ সর্বদা সঙ্গতিপূর্ণ হয় যখন ট্র্যাপিজয়েডের ত্রিভুজগুলি হয় সর্বসম হতে পারে বা নাও হতে পারে৷
