Rieman Integral এবং Lebesgue Integral এর মধ্যে পার্থক্য

2024 লেখক: Alex Aldridge | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 13:33

রিম্যান ইন্টিগ্রাল বনাম লেবেসগু ইন্টিগ্রাল

একীকরণ হল ক্যালকুলাসের একটি প্রধান বিষয়। একটি বিস্তৃত অর্থে, একীকরণকে পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়া হিসাবে দেখা যেতে পারে। বাস্তব-বিশ্বের সমস্যাগুলির মডেলিং করার সময়, ডেরিভেটিভগুলি জড়িত অভিব্যক্তিগুলি লেখা সহজ। এইরকম পরিস্থিতিতে, ফাংশন খুঁজে পেতে ইন্টিগ্রেশন অপারেশন প্রয়োজন, যা নির্দিষ্ট ডেরিভেটিভ দিয়েছে।

অন্য কোণ থেকে, ইন্টিগ্রেশন হল একটি প্রক্রিয়া, যা একটি ফাংশন ƒ(x) এবং δx এর গুণফলকে যোগ করে, যেখানে δx একটি নির্দিষ্ট সীমা হতে থাকে। এই কারণে, আমরা ∫ হিসাবে ইন্টিগ্রেশন চিহ্ন ব্যবহার করি। ∫ প্রতীকটি আসলে, যোগফল বোঝাতে আমরা s অক্ষর প্রসারিত করে যা পাই।

রিম্যান ইন্টিগ্রাল

একটি ফাংশন y=ƒ(x) বিবেচনা করুন। a এবং b এর মধ্যে y এর অখণ্ডতা, যেখানে a এবং b একটি সেট x এর অন্তর্গত, লেখা হয় _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a)। এটিকে বলা হয় a এবং b-এর মধ্যে একক মূল্যবান এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশন y=ƒ(x) এর একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। এটি a এবং b এর মধ্যে বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রফল দেয়। একে রিম্যান ইন্টিগ্রালও বলা হয়। রিম্যান ইন্টিগ্রাল তৈরি করেছিলেন বার্নহার্ড রিম্যান। একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের রিম্যান ইন্টিগ্রাল জর্ডান পরিমাপের উপর ভিত্তি করে, তাই এটিকে ফাংশনের রিম্যান যোগফলের সীমা হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি বদ্ধ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব মূল্যবান ফাংশনের জন্য, একটি পার্টিশন x₁, x₂, …, x এর ক্ষেত্রে রিম্যান ইন্টিগ্রাল n _{ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে [a, b] এবং t}1_{, t}2_{, …, t n}, যেখানে x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 এর জন্য প্রতিটি i ε {1, 2, …, n}, Riemann যোগফল Σ_{i=o থেকে n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i)।

লেবেসগু ইন্টিগ্রাল

Lebesgue হল আরেক ধরনের ইন্টিগ্রাল, যা রিম্যান ইন্টিগ্রালের তুলনায় বিভিন্ন ধরনের কেস কভার করে। লেবেসগু ইন্টিগ্রালটি 1902 সালে হেনরি লেবেসগুই দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। লেজেসগু ইন্টিগ্রেশনকে রিম্যান ইন্টিগ্রেশনের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

আমাদের আরেকটি অবিচ্ছেদ্য অধ্যয়ন করতে হবে কেন?

আসুন আমরা চরিত্রগত ফাংশনটি বিবেচনা করি ƒ_{A (x)=}{_{0 যদি, x না ε A}^{1 যদি, x ε A} একটি সেট A-তে। তারপর চারিত্রিক ফাংশনের সসীম রৈখিক সমন্বয়, যা F(x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) কে সহজ ফাংশন বলা হয় যদি E} i _{প্রতিটি i এর জন্য পরিমাপযোগ্য হয়। E এর উপর F(x) এর লেবেসগুয়ে ইন্টিগ্রাল} E_{∫ ƒ(x)dx দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ফাংশন F(x) রিম্যান ইন্টিগ্রেবল নয়। তাই Lebesgue integral হল rephrase Riemann integral, যাতে ইন্টিগ্রেট করা ফাংশনগুলির উপর কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে৷}

Rieman Integral এবং Lebesgue Integral এর মধ্যে পার্থক্য কি?

· Lebesgue integral হল Riemann integral এর একটি সাধারণীকরণ রূপ।

· লেবেসগু ইন্টিগ্রাল একটি গননাযোগ্য অসীমতা বিচ্ছিন্নতার অনুমতি দেয়, যখন রিম্যান ইন্টিগ্রাল একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিচ্ছিন্নতার অনুমতি দেয়।