বার্নোলি এবং দ্বিপদীর মধ্যে পার্থক্য

2024 লেখক: Alex Aldridge | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 13:33

বার্নৌলি বনাম দ্বিপদী

বাস্তব জীবনে প্রায়শই, আমরা এমন ঘটনার মুখোমুখি হই, যার শুধুমাত্র দুটি ফলাফলই গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, হয় আমরা একটি চাকরির ইন্টারভিউ পাস করি যা আমরা সম্মুখীন হয়েছিলাম বা সেই ইন্টারভিউতে ব্যর্থ হই, হয় আমাদের ফ্লাইট সময়মতো ছাড়ে বা দেরি হয়। এই সমস্ত পরিস্থিতিতে, আমরা সম্ভাব্যতা ধারণাটি প্রয়োগ করতে পারি 'বার্নৌলি ট্রায়ালস'।

বার্নোলি

সম্ভাব্যতা p এবং q সহ শুধুমাত্র দুটি সম্ভাব্য ফলাফল সহ একটি এলোমেলো পরীক্ষা; যেখানে p+q=1, জেমস বার্নোলি (1654-1705) এর সম্মানে বার্নৌলি ট্রায়াল বলা হয়। সাধারণত পরীক্ষার দুটি ফলাফলকে বলা হয় 'সফল' বা 'ব্যর্থতা'।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলার কথা বিবেচনা করি, তাহলে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে, যাকে বলা হয় 'মাথা' বা 'লেজ'। আমাদের আগ্রহ থাকলে মাথা পড়ে যায়; সাফল্যের সম্ভাবনা হল 1/2, যাকে P (সফলতা)=1/2 হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা হল 1/2৷ একইভাবে, যখন আমরা দুটি পাশা রোল করি, আমরা যদি শুধুমাত্র দুটি পাশার যোগফল 8 হতে আগ্রহী হই, P (সফলতা)=5/36 এবং P (ব্যর্থতা)=1- 5/36=31/36.

একটি Bernoulli প্রক্রিয়া স্বাধীনভাবে Bernoulli ট্রায়ালের একটি অনুক্রমের একটি ঘটনা; অতএব, প্রতিটি পরীক্ষার জন্য সাফল্যের সম্ভাবনা একই থাকে। অতিরিক্তভাবে, প্রতিটি পরীক্ষার জন্য ব্যর্থতার সম্ভাবনা 1-P(সফল)।

যেহেতু স্বতন্ত্র পথগুলি স্বাধীন, একটি বার্নোলি প্রক্রিয়ায় একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা সাফল্য এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনার গুণফল গ্রহণ করে গণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি সাফল্যের সম্ভাবনা [P(S)]কে p দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা [P(F)] কে q দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; তারপর P(SSSF)=p³q এবং P(FFSS)=p²q²

দ্বিপদ

বার্নোলি ট্রায়ালগুলি দ্বিপদ বন্টনের দিকে নিয়ে যায়। বেশিরভাগ অনুষ্ঠানে, লোকেরা 'বার্নৌলি' এবং 'দ্বিপদী' দুটি শব্দের সাথে বিভ্রান্ত হয়। দ্বিপদী বন্টন হল স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা বার্নোলি ট্রায়ালের সমষ্টি। দ্বিপদী বন্টন b(k;n, p) স্বরলিপি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; b(k;n, p)=C(n, k)p^kqn-k^{, যেখানে C(n, k) নামে পরিচিত দ্বিপদ সহগ। দ্বিপদী সহগ C(n, k) n!/k!(n-k)!। সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে}

উদাহরণস্বরূপ, যদি 25% বিজয়ী টিকিট সহ একটি তাত্ক্ষণিক লটারি 10 জনের মধ্যে বিক্রি হয়, তাহলে একটি বিজয়ী টিকিট কেনার সম্ভাবনা b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0.75)^{9 ≈ 9 x 0.25 x 0.075 ≈ 0.169}

বার্নোলি এবং দ্বিপদীর মধ্যে পার্থক্য কী?

• বার্নোলি ট্রায়াল হল একটি এলোমেলো পরীক্ষা যার মাত্র দুটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে৷
• দ্বিপদ পরীক্ষা স্বাধীনভাবে সম্পাদিত বার্নোলি ট্রায়ালের একটি ক্রম।