পার্থক্য বনাম ডেরিভেটিভ
ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে, ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেন্সিয়েশন ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, তবে খুব আলাদা, এবং ফাংশন সম্পর্কিত দুটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণা উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়।
ডেরিভেটিভ কি?
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেই হার পরিমাপ করে যে হারে ফাংশনের মান পরিবর্তনের সাথে সাথে ইনপুট পরিবর্তিত হয়। মাল্টি-ভেরিয়েবল ফাংশনে, ফাংশনের মানের পরিবর্তন স্বাধীন চলকের মানগুলির পরিবর্তনের দিকের উপর নির্ভর করে। অতএব, এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট দিক নির্বাচন করা হয় এবং ফাংশনটি সেই নির্দিষ্ট দিক থেকে আলাদা করা হয়।সেই ডেরিভেটিভকে বলা হয় দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ। আংশিক ডেরিভেটিভ হল একটি বিশেষ ধরনের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ।
একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন f এর ডেরিভেটিভকে সীমা [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] যেখানেই এটি সীমাবদ্ধভাবে বিদ্যমান। পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, এটি আমাদের ভেক্টর u এর দিক বরাবর f ফাংশনের বৃদ্ধির হার দেয়। একটি একক-মূল্যবান ফাংশনের ক্ষেত্রে, এটি ডেরিভেটিভের সুপরিচিত সংজ্ঞায় হ্রাস পায়, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
উদাহরণস্বরূপ, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] সর্বত্র পার্থক্যযোগ্য, এবং ডেরিভেটিভ সীমার সমান, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], যা [latex]3x^{2}+4[/latex] এর সমান। ফাংশনের ডেরিভেটিভ যেমন [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] সর্বত্র বিদ্যমান। তারা যথাক্রমে [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ফাংশনের সমান।
এটি প্রথম ডেরিভেটিভ হিসাবে পরিচিত। সাধারণত f ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ f দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (1) এখন এই স্বরলিপি ব্যবহার করে, উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] হল দ্বিতীয় ক্রম নির্দেশমূলক ডেরিভেটিভ, এবং f (n) দ্বারা n th ডেরিভেটিভ নির্দেশ করে প্রতিটি n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করে।
পার্থক্য কি?
পার্থক্য হল একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া। ডি দ্বারা চিহ্নিত ডি-অপারেটর কিছু প্রসঙ্গে পার্থক্য উপস্থাপন করে। যদি x স্বাধীন চলক হয়, তাহলে D ≡ d/dx । ডি-অপারেটর হল একটি রৈখিক অপারেটর, যেমন যেকোন দুটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশন f এবং g এবং ধ্রুবক c এর জন্য, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে৷
আমি। D (f + g)=D (f) + D(g)
II। D (cf)=cD (f)
D-অপারেটর ব্যবহার করে, পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য নিয়মগুলি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে। D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 এবং D (f o g)=(D (f) o g) D(g)।
উদাহরণস্বরূপ, যখন F(x)=x 2sin x কে প্রদত্ত নিয়ম ব্যবহার করে x এর সাথে পার্থক্য করা হয়, উত্তর হবে 2 x sin x + x2cos x.
পার্থক্য এবং ডেরিভেটিভের মধ্যে পার্থক্য কী?• ডেরিভেটিভ বলতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার বোঝায় • পার্থক্য হল একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া। |
