পারস্পরিক একচেটিয়া বনাম স্বাধীন ইভেন্ট
লোকেরা প্রায়ই স্বাধীন ইভেন্টের সাথে পারস্পরিক একচেটিয়া ইভেন্টের ধারণাকে বিভ্রান্ত করে। আসলে, এই দুটি ভিন্ন জিনিস।
ধরুন A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যে কোনো দুটি ঘটনা E. P(A) কে "A এর সম্ভাব্যতা" বলা হয়। একইভাবে, আমরা B এর সম্ভাব্যতাকে P(B), A বা B এর সম্ভাব্যতা P(A∪B), এবং A এবং B এর সম্ভাব্যতা P(A∩B) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। তারপর, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B)।
তবে, দুটি ঘটনাকে পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া বলা হয় যদি একটি ঘটনার ঘটনা অন্যটিকে প্রভাবিত না করে। অন্য কথায়, তারা একই সাথে ঘটতে পারে না। অতএব, যদি দুটি ঘটনা A এবং B পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হয় তবে A∩B=∅ এবং তাই, এর অর্থ P(A∪B)=P(A)+ P(B)।
ধরুন A এবং B একটি নমুনা স্থান S-তে দুটি ঘটনা। A এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা, B ঘটেছে প্রদত্ত, P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), প্রদত্ত P(B)>0। (অন্যথায়, এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না।)
একটি ঘটনা A কে একটি ঘটনা B থেকে স্বাধীন বলা হয়, যদি A ঘটার সম্ভাবনা B ঘটেছে বা না ঘটেছে তার দ্বারা প্রভাবিত না হয়। অন্য কথায়, ঘটনা B এর ফলাফল A এর ফলাফলের উপর কোন প্রভাব ফেলে না। অতএব, P(A | B)=P(A)। একইভাবে, B হল A থেকে স্বাধীন যদি P(B)=P(B | A)। সুতরাং, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে A এবং B যদি স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে P(A∩B)=P(A). P(B)
অনুমান করুন যে একটি সংখ্যাযুক্ত ঘনকটি ঘূর্ণিত হয়েছে এবং একটি ন্যায্য মুদ্রা উল্টানো হয়েছে। A হতে দিন যেটি একটি হেড প্রাপ্ত করার ইভেন্ট এবং B একটি ইভেন্ট হতে দিন যা একটি জোড় সংখ্যা ঘূর্ণায়মান করে। তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে ঘটনা A এবং B স্বাধীন, কারণ একটির ফলাফল অন্যটির ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। অতএব, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4। যেহেতু P(A∩B)≠0, A এবং B পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হতে পারে না।
ধরুন যে একটি কলসটিতে 7টি সাদা মার্বেল এবং 8টি কালো মার্বেল রয়েছে। একটি সাদা মার্বেল অঙ্কন হিসাবে ঘটনা A এবং একটি কালো মার্বেল অঙ্কন হিসাবে ঘটনা B সংজ্ঞায়িত করুন। ধরে নিচ্ছি প্রতিটি মার্বেল এর রঙটি নোট করার পরে প্রতিস্থাপিত হবে, তাহলে P(A) এবং P(B) সর্বদা একই থাকবে, আমরা যতবার কলস থেকে আঁকি না কেন। মার্বেলগুলি প্রতিস্থাপনের অর্থ হল সম্ভাব্যতাগুলি ড্র থেকে ড্রতে পরিবর্তিত হয় না, আমরা শেষ ড্রতে যে রঙটি বেছে নিয়েছি তা বিবেচনা না করে। অতএব, ঘটনা A এবং B স্বাধীন।
তবে, যদি মার্বেল প্রতিস্থাপন ছাড়াই আঁকা হয়, তাহলে সবকিছু বদলে যায়। এই অনুমানের অধীনে, ঘটনা A এবং B স্বাধীন নয়। প্রথমবার একটি সাদা মার্বেল অঙ্কন দ্বিতীয় ড্রতে একটি কালো মার্বেল আঁকার সম্ভাব্যতা পরিবর্তন করে এবং তাই। অন্য কথায়, প্রতিটি ড্র পরবর্তী ড্রতে প্রভাব ফেলে, এবং তাই পৃথক ড্র স্বাধীন নয়।
পারস্পরিক একচেটিয়া এবং স্বাধীন ইভেন্টের মধ্যে পার্থক্য
– ইভেন্টের পারস্পরিক এক্সক্লুসিভিটি মানে A এবং B সেটের মধ্যে কোনো ওভারল্যাপ নেই। ইভেন্টের স্বাধীনতা মানে A-এর ঘটনা B-এর ঘটনাকে প্রভাবিত করে না।
– যদি দুটি ঘটনা A এবং B পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হয়, তাহলে P(A∩B)=0.
– যদি দুটি ঘটনা A এবং B স্বাধীন হয়, তাহলে P(A∩B)=P(A). P(B)
