র্যান্ডম ভেরিয়েবল বনাম সম্ভাব্যতা বন্টন
পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাগুলি হল এলোমেলো পরীক্ষা যা ফলাফলের একটি পরিচিত সেটের সাথে অনির্দিষ্টকালের জন্য পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং সম্ভাব্যতা বন্টন উভয়ই এই ধরনের পরীক্ষার সাথে যুক্ত। প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, একটি যুক্ত সম্ভাব্যতা বন্টন রয়েছে যা একটি ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যাকে বলা হয় ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন।
এলোমেলো ভেরিয়েবল কি?
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি ফাংশন যা একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার ফলাফলে সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করে। অন্য কথায়, এটি একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার নমুনা স্থান থেকে বাস্তব সংখ্যার সেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন।
উদাহরণস্বরূপ, একটি মুদ্রা দুবার উল্টানোর একটি এলোমেলো পরীক্ষা বিবেচনা করুন। সম্ভাব্য ফলাফল হল HH, HT, TH এবং TT (H – heads, T – tales)। চলক X হল পরীক্ষায় পর্যবেক্ষণ করা মাথার সংখ্যা। তারপর, X মান 0, 1 বা 2 নিতে পারে এবং এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এখানে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল X সেটটি S={HH, HT, TH, TT} (নমুনা স্থান) সেট {0, 1, 2}-এ এমনভাবে ম্যাপ করবে যাতে HH 2, HT এবং TH-এ ম্যাপ করা হয়। 1-এ ম্যাপ করা হয় এবং TT-কে 0-তে ম্যাপ করা হয়। ফাংশন নোটেশনে, এটি লেখা যেতে পারে, X: S → R যেখানে X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 এবং X(TT)=0.
এলোমেলো ভেরিয়েবলের দুটি প্রকার রয়েছে: বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন, তদনুসারে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলির সংখ্যা সর্বাধিক গণনাযোগ্য বা না। আগের উদাহরণে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল X হল একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক যেহেতু {0, 1, 2} একটি সসীম সেট৷ এখন, একটি ক্লাসে শিক্ষার্থীদের ওজন বের করার পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাটি বিবেচনা করুন। Y কে একজন শিক্ষার্থীর ওজন হিসাবে সংজ্ঞায়িত এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন।Y একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের মধ্যে যেকোনো বাস্তব মান নিতে পারে। তাই, Y একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক৷
সম্ভাব্যতা বন্টন কি?
সম্ভাব্যতা বন্টন এমন একটি ফাংশন যা নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বর্ণনা করে।
ক্রমবর্ধমান বণ্টন ফাংশন (F) নামক একটি ফাংশনকে বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে বাস্তব সংখ্যার সেট পর্যন্ত F(x)=P(X ≤ x) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (X এর কম হওয়ার সম্ভাবনা বা x এর সমান) প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য x। এখন প্রথম উদাহরণে X-এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন F(a)=0 হিসাবে লেখা যেতে পারে, যদি a<0; F(a)=0.25, যদি 0≤a<1 হয়; F(a)=0.75, যদি 1≤a<2 এবং F(a)=1, যদি a≥2.
বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, একটি ফাংশন সম্ভাব্য ফলাফলের সেট থেকে বাস্তব সংখ্যার সেট পর্যন্ত এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে ƒ(x)=P(X=x) (X এর সম্ভাব্যতা x এর সমান) প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য x। এই বিশেষ ফাংশন ƒ কে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন বলা হয়।এখন প্রথম বিশেষ উদাহরণে X এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনটিকে ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, এবং অন্যথায় ƒ(x)=0 হিসাবে লেখা যেতে পারে। এইভাবে, ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন সহ সম্ভাব্য ভর ফাংশন প্রথম উদাহরণে X এর সম্ভাব্যতা বন্টন বর্ণনা করবে।
ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন (ƒ) নামক একটি ফাংশনকে প্রতিটি x এর জন্য ƒ(x)=dF(x)/dx হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে F হল ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এটা দেখা সহজ যে এই ফাংশনটি ∫ƒ(x)dx=1 কে সন্তুষ্ট করে। ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের সাথে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনকে বর্ণনা করে। উদাহরণ স্বরূপ, স্বাভাবিক বন্টন (যা একটি ধারাবাহিক সম্ভাব্যতা বন্টন) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয় µ)]2/(2σ2))।
এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে পার্থক্য কী?
• র্যান্ডম ভেরিয়েবল এমন একটি ফাংশন যা একটি নমুনা স্থানের মানকে একটি বাস্তব সংখ্যার সাথে সংযুক্ত করে।
• সম্ভাব্যতা বন্টন এমন একটি ফাংশন যা মানগুলিকে সংযুক্ত করে যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল ঘটনার সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে নিতে পারে৷
