ট্রানজিটিভ প্রপার্টি বনাম প্রতিস্থাপন সম্পত্তি
প্রতিস্থাপন সম্পত্তিটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী মান বা ভেরিয়েবলের জন্য ব্যবহৃত হয়। সমতার প্রতিস্থাপন বৈশিষ্ট্য বলে যে কোনো সংখ্যার জন্য a এবং b, যদি a=b হয়, তাহলে aকে b দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। অতএব, যদি a=b হয়, তাহলে আমরা যেকোন ‘a’ কে ‘b’ তে বা যে কোন ‘b’ কে ‘a’ এ পরিবর্তন করতে পারি।
উদাহরণস্বরূপ, যদি x=6 দেওয়া হয়, তাহলে আমরা x এর মান প্রতিস্থাপন করে রাশিটি (x+4)/5 সমাধান করতে পারি। উপরের অভিব্যক্তিতে x এর জন্য 5 প্রতিস্থাপন করে; (6+4)/5=2. মূলত, যেকোনো দুটি মান একে অপরের জন্য প্রতিস্থাপিত হতে পারে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি, তারা একে অপরের সমান হয়।
জ্যামিতিতে সংজ্ঞায়িত একটি প্রতিস্থাপন সম্পত্তি আছে। এই প্রতিস্থাপন সম্পত্তির সংজ্ঞা অনুসারে, যদি দুটি জ্যামিতিক বস্তু (এটি দুটি কোণ, অংশ, ত্রিভুজ বা যে কোনো কিছু হতে পারে) একমত হয়, তাহলে এই দুটি জ্যামিতিক বস্তুকে তাদের একটির সাথে জড়িত একটি বিবৃতিতে একে অপরের সাথে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে।
ট্রানজিটিভ প্রপার্টি হল আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা, যা বাইনারি সম্পর্কের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। A সেট থেকে B সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক R হল ক্রমানুসারে জোড়ার একটি সেট, A এবং B সমান হলে, আমরা বলি যে সম্পর্কটি A-তে একটি বাইনারি সম্পর্ক। ট্রানজিটিভ সম্পত্তি বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি (প্রতিবর্তিত, প্রতিসম, ট্রানজিটিভ) সমতা সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়।
A সম্পর্ক R ট্রানজিটিভ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি, x R থেকে y এর সাথে সম্পর্কিত হয় এবং y R থেকে z এর সাথে সম্পর্কিত হয়, তাহলে x R থেকে z এর সাথে সম্পর্কিত। প্রতীকীভাবে, একটি ট্রানজিটিভ সম্পত্তি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ধরুন a, b এবং c একটি সেট A এর অন্তর্গত, একটি বাইনারি সম্পর্ক '~' এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত ট্রানজিটিভ সম্পত্তি আছে, যদি a ~ b এবং b ~ c হয়, তাহলে এটি একটি ~ c বোঝায়।
উদাহরণস্বরূপ, "এর চেয়ে বড় হওয়া" একটি ট্রানজিটিভ সম্পর্ক। যদি a, b এবং c কোন বাস্তব সংখ্যা হয় যেমন a, b এর চেয়ে বড় এবং b c এর থেকে বড়, তাহলে এটি একটি যৌক্তিক ফলাফল যে a c এর থেকে বড়। "লম্বা হওয়া" একটি ট্রানজিটিভ সম্পর্কও। যদি কেট মেরির চেয়ে লম্বা হয় এবং মেরি জেনির থেকে লম্বা হয়, তাহলে এর অর্থ হল কেট জেনির থেকে লম্বা৷
আমরা সমস্ত বাইনারি সম্পর্কের ক্ষেত্রে ট্রানজিটিভ রিলেশন মানদণ্ড প্রয়োগ করতে পারি না। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিল জনের পিতা হয় এবং জন হয় ফ্রেডের পিতা, যা বোঝায় না যে বিল ফ্রেডের পিতা। একইভাবে, "পছন্দ" হল নন-ট্রানজিটিভ সম্পত্তি। উইলসন যদি হেনরিকে পছন্দ করেন এবং হেনরি ডেভিডকে পছন্দ করেন, তাহলে এর অর্থ এই নয় যে উইলসন ডেভিডকে পছন্দ করেন। অতএব, এটি একটি ট্রানজিটিভ সম্পর্ক নয়।
জ্যামিতিতে, ট্রানজিটিভ প্রপার্টি (তিনটি সেগমেন্ট বা কোণের জন্য) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:
যদি দুটি সেগমেন্ট (বা কোণ) প্রতিটি তৃতীয় রেখাংশের (বা কোণ) সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হয়, তাহলে তারা একে অপরের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।
সমতার ট্রানজিটিভ সম্পত্তি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ধরুন a, b এবং c হল A সেটের যেকোনো তিনটি উপাদান, যেমন a=b এবং b=c, তারপর a=c। এটি প্রতিস্থাপন সম্পত্তির মতো দেখায়, যা a=b সমীকরণে c দিয়ে b প্রতিস্থাপন করা বিবেচনা করা যেতে পারে। যাইহোক, এই দুটি বৈশিষ্ট্য এক নয়।
